Ableitung impliziter Funktione < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:23 Di 20.04.2010 | | Autor: | addicted |
| Aufgabe 1 | (Implizite Funktionen) Bilden sie die Ableitung [mm] \bruch{dy}{dx} [/mm] der Funktion
[mm] F(x,y)=2x^{2} [/mm] + [mm] 3xy^{3} [/mm] + [mm] 4xy^{2}+5y^{3} [/mm] |
| Aufgabe 2 | Ermitteln sie mit Hilfe des Lagrange Ansatzes das Extremum :
f(x,y) = x+y Nebenbedingung : [mm] x^{2.}+3xy+3y^{2}=3 [/mm] |
Im skript hab ich jetzt eine Formel gefunden mit der ich dieses scheinbar ausrechnen kann bzw die Ableitung bestimmen kann
Die Formel lautet :
[mm] \bruch{dy}{dx} [/mm] = - [mm] \bruch{\bruch{\partial F}{\partial X}}{\bruch{\partial F}{\partial Y}}
[/mm]
Damit käme ich zur folgenden Lösung
- [mm] \bruch{9xy^{2}+8xy+15y^{2}}{4x+3y^{3x}+4y^{2}}
[/mm]
Kurze Nachfrage, ist das korrekt so ?
Weitere Frage, kann mir jemand einen Hinweis geben wieso ich das zu machen hab ?
Zu Frage Nummer 2
Ich bekomme beim Ableiten der Lagrangefunktion ein Gleichungsystem was ich irgendwie nicht lösen kann. Dank Derive hab ich zwar die Lösung, ich hab aber keinen Lösungsweg. Die Möglichkeiten die in meiner bescheidenen Macht standen hab ich ausprobiert... Führt irgendwie nicht zum Ziel. Könnte mir vielleicht jemand einen Tipp geben wie das LGS zu lösen ist ?
LGS:
I [mm] x^{2} [/mm] + 3xy [mm] +3x^{2}=3
[/mm]
II 2 [mm] \lambda [/mm] X + 3 [mm] \lambda [/mm] Y = -1
III 3 [mm] \lambda [/mm] X + 6 [mm] \lambda [/mm] Y = -1
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:24 Mi 21.04.2010 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Zu Frage Nummer 2
> Ich bekomme beim Ableiten der Lagrangefunktion ein
> Gleichungsystem was ich irgendwie nicht lösen kann. Dank
> Derive hab ich zwar die Lösung, ich hab aber keinen
> Lösungsweg. Die Möglichkeiten die in meiner bescheidenen
> Macht standen hab ich ausprobiert... Führt irgendwie nicht
> zum Ziel. Könnte mir vielleicht jemand einen Tipp geben
> wie das LGS zu lösen ist ?
>
> LGS:
>
> I [mm]x^{2}[/mm] + 3xy [mm]+3x^{2}=3[/mm]
> II 2 [mm]\lambda[/mm] X + 3 [mm]\lambda[/mm] Y = -1
> III 3 [mm]\lambda[/mm] X + 6 [mm]\lambda[/mm] Y = -1
Wenn du die zweite Gleichung zweimal von der dritten Gleichung abziehst, erhaelst du [mm] $-\lambda [/mm] X = 1$. (III')
Wenn du das wiederum in die zweite Gleichung einsetzt, bekommst du $-2 + 3 [mm] \lambda [/mm] Y = -1$, also [mm] $\lambda [/mm] Y = [mm] \tfrac{1}{3}$. [/mm] (II')
Jetzt mach eine Fallunterscheidung:
a) [mm] $\lambda [/mm] = 0$;
b) [mm] $\lambda \neq [/mm] 0$.
Den Fall a) kannst du schnell ausschliessen. (Warum?)
Bei b) kannst du (II') und (III') nach $X, Y$ aufloesen und das in (I) einsetzen. Dann hast du ein Polynom in einer Unbestimmten (nach Multiplikation mit dem Hauptnenner), welches du nach [mm] $\lambda$ [/mm] aufloesen kannst und somit auch $X, Y$ bestimmen kannst.
LG Felix
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:10 Mi 21.04.2010 | | Autor: | fred97 |
> (Implizite Funktionen) Bilden sie die Ableitung
> [mm]\bruch{dy}{dx}[/mm] der Funktion
> [mm]F(x,y)=2x^{2}[/mm] + [mm]3xy^{3}[/mm] + [mm]4xy^{2}+5y^{3}[/mm]
> Ermitteln sie mit Hilfe des Lagrange Ansatzes das Extremum
> :
>
> f(x,y) = x+y Nebenbedingung : [mm]x^{2.}+3xy+3y^{2}=3[/mm]
> Im skript hab ich jetzt eine Formel gefunden mit der ich
> dieses scheinbar ausrechnen kann bzw die Ableitung
> bestimmen kann
>
> Die Formel lautet :
>
> [mm]\bruch{dy}{dx}[/mm] = - [mm]\bruch{\bruch{\partial F}{\partial X}}{\bruch{\partial F}{\partial Y}}[/mm]
>
> Damit käme ich zur folgenden Lösung
> - [mm]\bruch{9xy^{2}+8xy+15y^{2}}{4x+3y^{3x}+4y^{2}}[/mm]
>
> Kurze Nachfrage, ist das korrekt so ?
Nein. Du hast Zähler und Nenner vertauscht !!
FRED
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