Ableitung knifflig < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | Entwickeln sie die Funktion [mm] f:\IR\to\IR:f(x)=5x*e^{-7x} [/mm] in eine Taylorreihe /(um 0) |
N'Abend!
Ich weiß nicht wie ich hier beginnen soll..die Lösung enthält (wahrscheinlich) ein Summenzeichen.
Kann mal jemand symbolisch einen "Lösungsweg" angeben oder ähnliches?
Das ist ja kein Polynom, insofern keine leichte Lösung.
Gruß
M.C.
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:09 Do 05.10.2006 | | Autor: | MacChevap |
Danke für die super ausführliche Hilfe Betreff:Taylorreihe(die ich seid gestern erst kenne übrigens:) )
Perfekt erklärt. Ich wollte eigentlich schon schlafen, aber, wenn sich jemand so viel Mühe gibt, kann man sich nicht einfach (unbefriedigt) auf's Ohr hauen
:) Darum hab ich mich gleich daran gemacht, deine sehr guten Ratschläge umzusetzen.
Mir ist auch etwas an den Ableitungen aufgefallen, aber ich muss das noch richtig formulieren etc.
[mm]f^{(3)}'(x)=245+e^{-7x}[/mm] <-das steht (3)=sooft, wie abgeleitet da, und alternierd(Vorzeichen wechselt bei jeder Ableitung) [mm]-1715xe^{-7x}[/mm]
also
[mm]f^{(3)}'(x)=245e^{-7x}+245e^{-7x}+245e^{-7x}-1715xe^{-7x}[/mm]
Rest Morgen, meine Augen fallen zu..
Danke dir noch mal !!!
Gruß!
|
|
|
| |
|
N'Abend!
Bin fleißig am Rechnen!
Bin jetzt so weit, dass ich die 3 Ableitungen berechnet habe an der Stelle x, bzw. 0 meine Ergebnisse:
f'(0)=5
f''(0)=-70
f'''(0)=735
Regel: 5*7*2=f''
35*7*3=f'''
245*7*4=f''''
aber wie notiere ich jetzt die Gesetzmäßigkeit ?
Wie komme ich auf die allgemeine Darstellung ?
Wie kann ich das auch leichter rechnen mit der e-Reihe ?
Und wie das ganze dann mit dem Summenzeichen ?
Fragen über Fragen ich hoffe .(!) Jemand kann mir weiter helfen.
Ich hab das bis jetzt noch ni(e)cht gemacht.
Danke im Vorraus und Gruß
MacChevap
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:43 Do 05.10.2006 | | Autor: | MacChevap |
Die möglichen Lösungen (eine davon stimmt (wahrscheinlich) )
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:48 Do 05.10.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo MacChevap!
> f'(0)=5
> f''(0)=-70
> f'''(0)=735
>
> Regel: 5*7*2=f''
> 35*7*3=f'''
> 245*7*4=f''''
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Das gilt natürlich nur jeweils an der Stelle (= Entwicklungspunkt): [mm] $x_0 [/mm] \ = \ 0$ .
> aber wie notiere ich jetzt die Gesetzmäßigkeit ?
> Wie komme ich auf die allgemeine Darstellung ?
Es gilt: [mm] $f^{(n)}(0) [/mm] \ = \ [mm] 5*(-7)^{n-1}*e^0*(n-7*0) [/mm] \ = \ [mm] 5*(-7)^{n-1}*n$
[/mm]
> Wie kann ich das auch leichter rechnen mit der e-Reihe ?
> Und wie das ganze dann mit dem Summenzeichen ?
Aus der o.g. Darstellung (siehe Antwort von gestern Nacht) erhalten wir auch:
$ [mm] 5x\cdot{}e^{-7x} [/mm] \ = \ [mm] 5x\cdot{}\left[1+(-7x)+\bruch{(-7x)^2}{2!}+\bruch{(-7x)^3}{3!}+...+\bruch{(-7x)^n}{n!}+...\right] [/mm] \ = \ [mm] 5x\cdot{}\left[\bruch{(-7x)^0}{0!}+\bruch{(-7x)^1}{1!}+\bruch{(-7x)^2}{2!}+\bruch{(-7x)^3}{3!}+...+\bruch{(-7x)^n}{n!}+...\right]$
[/mm]
$= \ [mm] 5x*\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{(-7x)^n}{n!} [/mm] \ = \ [mm] 5x*\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{(-7)^n}{n!}*x^n [/mm] \ = \ ...$
Wenn wir nun die $5*x_$ hineinmultiplizieren, erhalten wir:
$= \ [mm] \summe_{n=0}^{\infty}\bruch{5*(-7)^n}{n!}*x^{n+1}$
[/mm]
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
Wie komme ich auf die allgemeine Darstellung ?
Loddar schrieb:Es gilt: [mm]f^{(n)}(0) \ = \ 5*(-7)^{n-1}*e^0*(n-7*0) \ = \ 5*(-7)^{n-1}*n[/mm]
Naja das ist eher n Zitat, denn eine Antwort...hm..ich kam mit Logik 2 Schritte weiter...
wahscheinlich muss man was bei f(0) rauskam (=5) nach vorne schreiben, das ganze wird multipliziert mit 7 daher die 7, weil das Vorzeichen alterniert [mm]7^{n}[/mm] n-1, weil erst bei n=1=f'(x) etwas(=5) rauskommen soll...
so weit geht's gerade noch so, jetzt aber, warum: [mm]e^{0}[/mm] <- ?
Ich dachte erst du hast überall wo das x war [mm]-7^{n-1}[/mm] eingesetzt aber das ist es ja nicht...? Und woher das (n-7*0) ?
Wenn du mir noch'n wenig erklären könntest wie du drauf kommst.?
Danke
Schönen Gruß
MacC.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:49 Do 05.10.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo M.C.!
Sollst Du denn hier wirklich die "vollständige" Taylor-Reihe angeben, oder auch nur bis zu einer bestimmten Potenz wie bei Deiner anderen Aufgabe?
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:34 Fr 06.10.2006 | | Autor: | MacChevap |
Hi Loddar!
Ich hab die Aufgabenstellung exakt abgetippt.
ja
> wirklich die "vollständige"
> Taylor-Reihe angeben,
> Gruß
P.S. keine der Lösungen passt zu deiner, Grund: sie beginnen alle schon bei n=1 <- ist das normal, oder eine Schickane ?(Ich weiß nicht wo die T-reihen für gewöhnlich anfangen) kommt Nr.8 als Lösung(=>siehe Mitteilung mit Bild)in Frage?
M.C.
|
|
|
|
![[]](/images/popup.gif){kind=small}
Taylor-Reihe
) auf die allgemeine Darstellung:
![[morgaehn]](/images/smileys/morgaehn.gif "[morgaehn]"){kind=small}
!
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
Das alternierende Vorzeichen wird durch das Minuszeichen bei [mm] $(\red{-}7)^{n}$ [/mm] erzeugt.
