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| Aufgabe | Die formale Ableitung eines Polynoms P(X) = [mm] \summe_{n\ge0}\lambda_{n}X^n [/mm] ist
definiert als P'(X) = [mm] \summe_{n\ge1}n\lambda_{n}X^{n-1} [/mm] . Sei nun [mm] V_{n} \subset [/mm] K[X] der Untervektorraum
aller Polynome vom Grad [mm] \le3 [/mm] über einem Körper K. Wir betrachten
die Abbildung
f : [mm] V_3 \to V_4, [/mm] P(X) [mm] \mapsto -P'(X^2 [/mm] − 1).
Verifizieren Sie, daß die Abbildung f linear ist. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ausgeschrieben habe ich die Ableitungssumme für n = 1 bis 3 als:
[mm] -1\lambda_1(x^2-1)^0 [/mm] + [mm] (-2)\lambda_2(x^2-1)^1 [/mm] + [mm] (-3)\lambda_3(x^2-1)^2
[/mm]
Wenn ich jetzt auf Homogenität überprüfe, ist mir unklar, wie dies eine lineare Abbildung sein kann.
a*f(x) = f(a*x)
=> [mm] a(-1\lambda_1(x^2-1)^0 [/mm] + ...) = [mm] -1\lambda_1(a(x^2-1))^0 [/mm] + ...
<=> [mm] -1\lambda_1a [/mm] + ... = [mm] -1\lambda_1 [/mm] + ...
Spontan würde ich sagen, dass diese Abb. nicht linear sein kann, da mir ja auf der rechten Seite in jedem Fall das a fehlt. Wo liegt der Fehler?
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> Die formale Ableitung eines Polynoms P(X) =
> [mm]\summe_{n\ge0}\lambda_{n}X^n[/mm] ist
> definiert als P'(X) = [mm]\summe_{n\ge1}n\lambda_{n}X^{n-1}[/mm] .
> Sei nun [mm]V_{n} \subset[/mm] K[X] der Untervektorraum
> aller Polynome vom Grad [mm]\le3[/mm] über einem Körper K. Wir
> betrachten
> die Abbildung
>
> f : [mm]V_3 \to V_4,[/mm] P(X) [mm]\mapsto -P'(X^2[/mm] − 1).
>
> Verifizieren Sie, daß die Abbildung f linear ist.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
>
> Ausgeschrieben habe ich die Ableitungssumme für n = 1 bis 3
> als:
>
> [mm]-1\lambda_1(x^2-1)^0[/mm] + [mm](-2)\lambda_2(x^2-1)^1[/mm] +
> [mm](-3)\lambda_3(x^2-1)^2[/mm]
>
> Wenn ich jetzt auf Homogenität überprüfe, ist mir
> a*f(x) = f(a*x)unklar,
> wie dies eine lineare Abbildung sein kann.
>
> a*f(x) = f(a*x)
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Mach Dir nochmal klar, welches die Objekte sind, auf die die Abbildung f wirkt: es sind Polynome.
Du hast für die Linearität also zu prüfen, ob f(P(X)+Q(X))=f(P(X))+f(Q(X)) und f(aP(X))=af(P(X)) richtig ist.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:15 So 30.11.2008 | | Autor: | christianw |
Besten Dank für die Antwort. Ich werde mich jetzt noch mal damit auseinandersetzen. Muss zugeben, dass mich die Abbildungsvorschrift verwirrt hat, aber ich denke, dass mir der Tip hilft. Zumindest ist es intuitiv einleuchtend, dass es keinen Unterschied macht, ob das Ursprungspolynom zuerst oder die Summanden des Ableitungspolynoms später multipliziert werden.
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