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Forum "Mathe Klassen 8-10" - Ableitung ln(x^2)
Ableitung ln(x^2) < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Ableitung ln(x^2): Anwendung h-Methode
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:29 Do 08.01.2015
Autor: wolfgangmax

Aufgabe
<br>Es soll die Funktion
f(x)= [mm] ln(x^2) [/mm] mit der h-Methode abgeleitet werden. Beschreiben Sie Ihr Vorgehen
 


<br>Mein Lösungsansatz:
m = [mm] ln[(x+h)^2]- ln(x^2) [/mm] / h

m = [mm] ln[(x^2 [/mm] +2xh [mm] +h^2) [/mm] - [mm] (ln(x^2)]/ [/mm] h

Und jetzt komme ich nicht weiter.
Wie vereinfache ich den Zähler?

Für Tipps und Hilfen bin ich sehr dankbar

LG wolfgang
 

        
Bezug
Ableitung ln(x^2): Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:43 Do 08.01.2015
Autor: fred97


> <br>Es soll die Funktion
>  f(x)= [mm]ln(x^2)[/mm] mit der h-Methode abgeleitet werden.
> Beschreiben Sie Ihr Vorgehen
>   
>  
> <br>Mein Lösungsansatz:
>  m = [mm]ln[(x+h)^2]- ln(x^2)[/mm] / h
>  
> m = [mm]ln[(x^2[/mm] +2xh [mm]+h^2)[/mm] - [mm](ln(x^2)]/[/mm] h
>  
> Und jetzt komme ich nicht weiter.
>  Wie vereinfache ich den Zähler?
>  
> Für Tipps und Hilfen bin ich sehr dankbar
>  
> LG wolfgang
>   


Ich lach mich immer schlapp, wenn ich "h-Methode" lese oder höre.... . So ein Schwachsinn.


So ganz ohne Kenntnis der Ableitung von ln wirds kaum gehen. Sei x [mm] \ne [/mm] 0:

Es ist (benutze u.a. Rechenregeln des Logarithmus)

[mm] \bruch{ln((x+h)^2)-ln(x^2)}{h}=\bruch{2}{x}* \bruch{g(h/x)-g(0)}{\bruch{h}{x}}, [/mm]

wobei g(t):=ln(1+t).

FRED

Bezug
                
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Ableitung ln(x^2): Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:00 Do 08.01.2015
Autor: Gonozal_IX

Hallo Fred,

> Ich lach mich immer schlapp, wenn ich "h-Methode" lese oder
> höre.... . So ein Schwachsinn.

Warum?
  

> So ganz ohne Kenntnis der Ableitung von ln wirds kaum gehen.

Das sehe ich anders. Es reicht die Stetigkeit vom [mm] \ln [/mm]

Gruß,
Gono

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Ableitung ln(x^2): Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:20 Do 08.01.2015
Autor: fred97


> Hallo Fred,
>  
> > Ich lach mich immer schlapp, wenn ich "h-Methode" lese oder
> > höre.... . So ein Schwachsinn.
>  Warum?
>    

Das Wort "Methode" ist völlig fehl am Platze !


> > So ganz ohne Kenntnis der Ableitung von ln wirds kaum
> gehen.
> Das sehe ich anders. Es reicht die Stetigkeit vom [mm]\ln[/mm]

Na ja. Du benutzt

  

$ [mm] \lim_{n\to\infty}\left(1 + \bruch{x}{n}\right) [/mm] = [mm] e^x [/mm] $.

Mit welchen Hilfsmitteln zeigst Du das ?

FRED

>  
> Gruß,
>  Gono


Bezug
                                
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Ableitung ln(x^2): Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:31 Do 08.01.2015
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Mit welchen Hilfsmitteln zeigst Du das ?

gar nicht.
Die mir bekannte Vorgehensweise ist, e so zu definieren und dann den [mm] \ln [/mm] als Stammfunktion von [mm] $\bruch{1}{x}$. [/mm]
Man zeigt dann, dass die so definierten Funktionen gerade Umkehrfunktionen voneinander sind.

Dass es auch andere Wege gibt, e und [mm] \ln [/mm] zu definieren, ist mir klar. Allerdings ist obiges eben auch ein Weg dazu.

Gruß,
Gono

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Ableitung ln(x^2): Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:44 Do 08.01.2015
Autor: fred97


> Hiho,
>  
> > Mit welchen Hilfsmitteln zeigst Du das ?
>  
> gar nicht.
>  Die mir bekannte Vorgehensweise ist, e so zu definieren

Das man definiert

  

$e:= [mm] \lim_{n\to\infty}\left(1 + \bruch{1}{n}\right) [/mm] $

ist üblich. Und Ihr habt definiert

  

  

$ [mm] e^x:=\lim_{n\to\infty}\left(1 + \bruch{x}{n}\right) [/mm] $.

Wirklich ?

FRED



> und dann den [mm]\ln[/mm] als Stammfunktion von [mm]\bruch{1}{x}[/mm].
>  Man zeigt dann, dass die so definierten Funktionen gerade
> Umkehrfunktionen voneinander sind.
>  
> Dass es auch andere Wege gibt, e und [mm]\ln[/mm] zu definieren, ist
> mir klar. Allerdings ist obiges eben auch ein Weg dazu.
>  
> Gruß,
>  Gono


Bezug
                                                
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Ableitung ln(x^2): Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:41 Do 08.01.2015
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Das man definiert
> [mm]e:= \lim_{n\to\infty}\left(1 + \bruch{1}{n}\right)^n[/mm]
>  
> ist üblich. Und Ihr habt definiert
>  
>
> [mm]e^x:=\lim_{n\to\infty}\left(1 + \bruch{x}{n}\right)^n [/mm].
>
> Wirklich ?

die Definition ist gar nicht so unüblich (siehe auch den Wikipedia-Eintrag zur Exponentialfunktion, wo eben diese Definition als eine der zwei üblichen genannt wird), wobei meine Schulzeit schon lang her ist und ich jetzt nicht drauf wetten würde.

Andererseits reicht ja die Definition:

[mm]e:= \lim_{n\to\infty}\left(1 + \bruch{1}{n}\right)^n[/mm]

und die Stetigkeit der Exponentialfunktion zu positiven rellen Basen ja bereits aus um für x>0 auf

[mm]e^x = \lim_{n\to\infty}\left(1 + \bruch{1}{n}\right)^{nx} = \lim_{n\to\infty}\left(1 + \bruch{x}{n}\right)^{n} [/mm]

zu schließen.

Gruß,
Gono

Bezug
        
Bezug
Ableitung ln(x^2): Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:03 Do 08.01.2015
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

wie fred schon angedeutet hast, benötigst du die Logarithmusgesetze.

Forme also [mm] $\bruch{\ln((x+h)^2) - \ln(x^2)}{h}$ [/mm] so um, dass du einen Ausdruck der Form [mm] $\ln(\ldots)$ [/mm] bekommst und benutze dann

[mm] $\lim_{n\to\infty}\left(1 + \bruch{x}{n}\right) [/mm] = [mm] e^x$ [/mm]

Tipp: Eine Anwendung der binomischen Formel ist nicht nötig.

Gruß,
Gono

Bezug
        
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Ableitung ln(x^2): DaNKE
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:14 Do 08.01.2015
Autor: wolfgangmax

Herzlichen Dank, ihr habt mir sehr geholfen
wolfgang

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