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Ableitung mit Summenformel: Korrektur
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:11 Mo 27.01.2014
Autor: balthier

Aufgabe
Berechnen Sie alle partiellen Ableitungen erster Ordnung.

c) [mm] z=\wurzel{x_{1} ^{2} + x_{2} ^{2} + ... + x_{n} ^{2}} [/mm]

Hallöchen,

das ist vielmehr eine Rückfrage, ob ich es mir nicht zu leicht mache.
Ich würde das einfach umschreiben in:

[mm] f(x_{k}) [/mm] = [mm] \summe_{k=1}^{n} \wurzel{x_{k}^{2}} [/mm] also [mm] f(x_{k}) [/mm] = [mm] \summe_{k=1}^{n} x_{k} [/mm]

und somit

[mm] f'(x_{k}) [/mm] = [mm] \summe_{k=1}^{n} [/mm] 1 = 1

Geht das?

        
Bezug
Ableitung mit Summenformel: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:17 Mo 27.01.2014
Autor: Diophant

Hallo,

Behauptung:

[mm] \wurzel{13}=5 [/mm]

'Beweis':

[mm] \wurzel{13}=\wurzel{4+9}=\wurzel{4}+\wurzel{9}=2+3=5 [/mm]

Das sollte deine Frage beantworten. ;-)

Gruß, Diophant

Bezug
        
Bezug
Ableitung mit Summenformel: Ergänzung
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:22 Mo 27.01.2014
Autor: DieAcht

Hallo,


> Berechnen Sie alle partiellen Ableitungen erster Ordnung.
>  
> c) [mm]z=\wurzel{x_{1} ^{2} + x_{2} ^{2} + ... + x_{n} ^{2}}[/mm]
>  
> Hallöchen,
>  
> das ist vielmehr eine Rückfrage, ob ich es mir nicht zu
> leicht mache.
>  Ich würde das einfach umschreiben in:
>  
> [mm]f(x_{k})[/mm] = [mm]\summe_{k=1}^{n} \wurzel{x_{k}^{2}}[/mm] also
> [mm]f(x_{k})[/mm] = [mm]\summe_{k=1}^{n} x_{k}[/mm]
>  
> und somit
>  
> [mm]f'(x_{k})[/mm] = [mm]\summe_{k=1}^{n}[/mm] 1 = 1
>  
> Geht das?

Du wurdest schon als linearer Wurzelzieher von Diophant entlarvt,
aber du machst noch einen sehr großen Fehler!

Es gilt:

      [mm] \summe_{k=1}^{n}1\not=1 [/mm] für [mm] n\not=1 [/mm] - Warum?


Gruß
DieAcht

P.S. Der Begriff ist von FRED geklaut :-)

Bezug
                
Bezug
Ableitung mit Summenformel: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:36 Mo 27.01.2014
Autor: balthier

Haha, also doch viel zu einfach gedacht.

Genügt denn als Ableitung:

[mm] \summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{2\wurzel{x_{k}^{2}}} [/mm]

Oder gehe ich die Sache völlig falsch an?



> Es gilt:
>  
> [mm]\summe_{k=1}^{n}1\not=1[/mm] - Warum?
>  

Gute Frage.

[mm]\summe_{k=1}^{n}1=n*1[/mm] Kann es aber auch nicht sein.

Bezug
                        
Bezug
Ableitung mit Summenformel: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:42 Mo 27.01.2014
Autor: DieAcht

Hallo,


> Haha, also doch viel zu einfach gedacht.

Ja.

> Genügt denn als Ableitung:
>  
> [mm]\summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{2\wurzel{x_{k}^{2}}}[/mm]
>  
> Oder gehe ich die Sache völlig falsch an?
>  

      [mm] z=\wurzel{x_{1} ^{2} + x_{2} ^{2} + ... + x_{n} ^{2}} [/mm]

Wenn du nach [mm] $x_1$ [/mm] ableitest, dann sind [mm] x_2,...,x_n [/mm] Variablen.

Was ist denn die Ableitung von folgender Funktion:

      [mm] f(x)=\sqrt{x^2+5+10+123} [/mm]

>
> > Es gilt:
>  >  
> > [mm]\summe_{k=1}^{n}1\not=1[/mm] - Warum?
>  >  
>
> Gute Frage.
>  
> [mm]\summe_{k=1}^{n}1=n*1[/mm] Kann es aber auch nicht sein.

Wieso nicht?

Wie oft wird denn die Zahl $1$ addiert?


Gruß
DieAcht

Bezug
                                
Bezug
Ableitung mit Summenformel: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:51 Mo 27.01.2014
Autor: balthier


> Was ist denn die Ableitung von folgender Funktion:
>  
> [mm]f(x)=\sqrt{x^2+5+10+123}[/mm]

f'(x) = [mm] \bruch{x}{\wurzel{x^{2}+138}} [/mm]

Also Kettenregel nicht vollständig durchgeführt?
Also

[mm] \summe_{k=1}^{n} \bruch{x_{k}}{\wurzel{x_{k}^{2}}} [/mm]

> >
> > Gute Frage.
>  >  
> > [mm]\summe_{k=1}^{n}1=n*1[/mm] Kann es aber auch nicht sein.
>
> Wieso nicht?
>  
> Wie oft wird denn die Zahl [mm]1[/mm] addiert?
>  

Vermutlich n mal. Ich finde nur leider kein k in der Gleichung.

Bezug
                                        
Bezug
Ableitung mit Summenformel: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:06 Mo 27.01.2014
Autor: DieAcht

Hallo,


> > Was ist denn die Ableitung von folgender Funktion:
>  >  
> > [mm]f(x)=\sqrt{x^2+5+10+123}[/mm]
>  
> f'(x) = [mm]\bruch{x}{\wurzel{x^{2}+138}}[/mm]

[ok]

> Also Kettenregel nicht vollständig durchgeführt?

[ok]

>  Also
>  
> [mm]\summe_{k=1}^{n} \bruch{x_{k}}{\wurzel{x_{k}^{2}}}[/mm]

Schreib das doch mal ohne die Summe auf!

[mm] \frac{d}{dx_1}\wurzel{x_{1} ^{2} + x_{2} ^{2} + ... + x_{n} ^{2}}=\frac{1}{2\sqrt{x_{1} ^{2} + x_{2} ^{2} + ... + x_{n} ^{2}}}*\frac{d}{x_1}(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+...+ x_{n}^{2})=\frac{1}{2\sqrt{x_{1} ^{2} + x_{2} ^{2} + ... + x_{n} ^{2}}}*2x_1=\frac{x_1}{\sqrt{x_{1} ^{2} + x_{2} ^{2} + ... + x_{n} ^{2}}} [/mm]

Jetzt du!

> > >
> > > Gute Frage.
>  >  >  
> > > [mm]\summe_{k=1}^{n}1=n*1[/mm] Kann es aber auch nicht sein.
> >
> > Wieso nicht?
>  >  
> > Wie oft wird denn die Zahl [mm]1[/mm] addiert?
>  >  
>
> Vermutlich n mal. Ich finde nur leider kein k in der
> Gleichung.

Es gilt für alle [mm] n\in\IN: [/mm]

      [mm] \summe_{k=1}^{n}k=1+2+\ldots+n=\frac{n(n+1)}{2} [/mm]

      [mm] \summe_{k=1}^{n}1=\underbrace{1+\ldots+1}_{\text{n-mal}}=n [/mm]


Gruß
DieAcht

Bezug
                                                
Bezug
Ableitung mit Summenformel: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:18 Mo 27.01.2014
Autor: balthier


> Schreib das doch mal ohne die Summe auf!
>  
> [mm]\frac{d}{dx_1}\wurzel{x_{1} ^{2} + x_{2} ^{2} + ... + x_{n} ^{2}}=\frac{1}{2\sqrt{x_{1} ^{2} + x_{2} ^{2} + ... + x_{n} ^{2}}}*\frac{d}{x_1}(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+...+ x_{n}^{2})=\frac{1}{2\sqrt{x_{1} ^{2} + x_{2} ^{2} + ... + x_{n} ^{2}}}*2x_1=\frac{x_1}{\sqrt{x_{1} ^{2} + x_{2} ^{2} + ... + x_{n} ^{2}}}[/mm]
>  
> Jetzt du!

Du spielst darauf an, dass sich in meiner Schreibweise die Summe auch auf den Zähler bezieht, ja? Kann ich dann einfach schreiben:

[mm] \bruch{x_{k} }{\summe_{k=1}^{n} \wurzel{x_{k}^{2}}} [/mm]

oder

[mm] x_{k} * {\summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{\wurzel{x_{k}^{2}}}[/mm]

Sorry, ich bin mir bei der Schreibweise nicht sonderlich sicher.

Bezug
                                                        
Bezug
Ableitung mit Summenformel: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:38 Mo 27.01.2014
Autor: DieAcht

Hallo,


> > Schreib das doch mal ohne die Summe auf!
>  >  
> > [mm]\frac{d}{dx_1}\wurzel{x_{1} ^{2} + x_{2} ^{2} + ... + x_{n} ^{2}}=\frac{1}{2\sqrt{x_{1} ^{2} + x_{2} ^{2} + ... + x_{n} ^{2}}}*\frac{d}{x_1}(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+...+ x_{n}^{2})=\frac{1}{2\sqrt{x_{1} ^{2} + x_{2} ^{2} + ... + x_{n} ^{2}}}*2x_1=\frac{x_1}{\sqrt{x_{1} ^{2} + x_{2} ^{2} + ... + x_{n} ^{2}}}[/mm]
>  
> >  

> > Jetzt du!
>  
> Du spielst darauf an, dass sich in meiner Schreibweise die
> Summe auch auf den Zähler bezieht, ja?

[ok]

> Kann ich dann
> einfach schreiben:
>  
> [mm]\bruch{x_{k} }{\summe_{k=1}^{n} \wurzel{x_{k}^{2}}}[/mm]
>
> oder
>
> [mm]x_{k} * {\summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{\wurzel{x_{k}^{2}}}[/mm]

So wie ich dich verstehe willst du eine allgemeine Formel
zum Darstellen der partiellen Ableitung nach genau einer Variable.

Du willst also etwas in dieser Form:

      [mm] z_{x_{\alpha}}=\frac{x_{\alpha}}{\|x\|_2} [/mm] mit  [mm] \alpha\in\{x_1,\ldots,x_n\} [/mm]

> Sorry, ich bin mir bei der Schreibweise nicht sonderlich
> sicher.


Gruß
DieAcht

Bezug
                                                                
Bezug
Ableitung mit Summenformel: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:48 Mo 27.01.2014
Autor: balthier


> Und was ist dann [mm]x_k[/mm] ?

Richtig. Daher war ich mir nicht sicher.

> So wie ich dich verstehe willst du eine allgemeine Formel
>  zum Darstellen der partiellen Ableitung nach genau einer
> Variable.

Nun, die Aufgabe sieht vor, alle partiellen Ableitungen erster Ordnung zu berechnen. Demonstrativ ließe sich das ja für [mm]x_{1}, x_{2}[/mm] und [mm]x_{n}[/mm] machen, doch wenn es sich um eine solche Summe handelt, hat das immer etwas unschönes. Ich bleibe einfach bei deiner Darstellung. Vielen Dank

Bezug
                                                                        
Bezug
Ableitung mit Summenformel: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:54 Mo 27.01.2014
Autor: DieAcht

Hallo,


Viel schöner wäre die Aufgabe, wenn die Funktion so aussehen würde:

      [mm] z_n=\sqrt{x^2_1+x^2_2+\ldots+x^2_n} [/mm]

Dann könnte man das schöner aufschreiben, denn [mm] $n\in\IN$ [/mm] ist beliebig aber fest.


Gruß
DieAcht

Bezug
                                                        
Bezug
Ableitung mit Summenformel: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:54 Mo 27.01.2014
Autor: fred97


> > Schreib das doch mal ohne die Summe auf!
>  >  
> > [mm]\frac{d}{dx_1}\wurzel{x_{1} ^{2} + x_{2} ^{2} + ... + x_{n} ^{2}}=\frac{1}{2\sqrt{x_{1} ^{2} + x_{2} ^{2} + ... + x_{n} ^{2}}}*\frac{d}{x_1}(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+...+ x_{n}^{2})=\frac{1}{2\sqrt{x_{1} ^{2} + x_{2} ^{2} + ... + x_{n} ^{2}}}*2x_1=\frac{x_1}{\sqrt{x_{1} ^{2} + x_{2} ^{2} + ... + x_{n} ^{2}}}[/mm]

Ja, das stimmt.

>  
> >  

> > Jetzt du!
>  
> Du spielst darauf an, dass sich in meiner Schreibweise die
> Summe auch auf den Zähler bezieht, ja? Kann ich dann
> einfach schreiben:
>  
> [mm]\bruch{x_{k} }{\summe_{k=1}^{n} \wurzel{x_{k}^{2}}}[/mm]

Unfug !

Die Ableitung nach [mm] x_k [/mm] ist:

[mm]\bruch{x_{k} }{\wurzel{\summe_{k=1}^{n}x_{k}^{2}}}[/mm]

>
> oder
>
> [mm]x_{k} * {\summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{\wurzel{x_{k}^{2}}}[/mm]

Grausam !

Mach Dir klar, dass i.a.

[mm] \bruch{a}{b+c} \ne a(\bruch{1}{b}+\bruch{1}{c}) [/mm] ist

FRED

>  
> Sorry, ich bin mir bei der Schreibweise nicht sonderlich
> sicher.


Bezug
                
Bezug
Ableitung mit Summenformel: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:57 Mo 27.01.2014
Autor: fred97


> Hallo,
>  
>
> > Berechnen Sie alle partiellen Ableitungen erster Ordnung.
>  >  
> > c) [mm]z=\wurzel{x_{1} ^{2} + x_{2} ^{2} + ... + x_{n} ^{2}}[/mm]
>  
> >  

> > Hallöchen,
>  >  
> > das ist vielmehr eine Rückfrage, ob ich es mir nicht zu
> > leicht mache.
>  >  Ich würde das einfach umschreiben in:
>  >  
> > [mm]f(x_{k})[/mm] = [mm]\summe_{k=1}^{n} \wurzel{x_{k}^{2}}[/mm] also
> > [mm]f(x_{k})[/mm] = [mm]\summe_{k=1}^{n} x_{k}[/mm]
>  >  
> > und somit
>  >  
> > [mm]f'(x_{k})[/mm] = [mm]\summe_{k=1}^{n}[/mm] 1 = 1
>  >  
> > Geht das?
>
> Du wurdest schon als linearer Wurzelzieher von Diophant
> entlarvt,
>  aber du machst noch einen sehr großen Fehler!
>  
> Es gilt:
>  
> [mm]\summe_{k=1}^{n}1\not=1[/mm] für [mm]n\not=1[/mm] - Warum?
>  
>
> Gruß
>  DieAcht
>  
> P.S. Der Begriff ist von FRED geklaut :-)

Neben den linearen Wurzelziehern gibt es noch

  -- lineare Quadrierer: [mm] (a+b)^2=a^2+b^2, [/mm]

  -- lineare Logarithmierer: log(a+b)=log(a)+log(b),

etc.....

FRED


Bezug
                        
Bezug
Ableitung mit Summenformel: Nett
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:07 Mo 27.01.2014
Autor: DieAcht

Hallo Fred,

> > P.S. Der Begriff ist von FRED geklaut :-)
>
> Neben den linearen Wurzelziehern gibt es noch
>  
> -- lineare Quadrierer: [mm](a+b)^2=a^2+b^2,[/mm]
>  
> -- lineare Logarithmierer: log(a+b)=log(a)+log(b),
>  
> etc.....
>  
> FRED
>  

Das merk ich mir :-)

Gruß
DieAcht


Bezug
        
Bezug
Ableitung mit Summenformel: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:55 Mo 27.01.2014
Autor: fred97

Noch was:

Für a<0 ist [mm] \wurzel{a^2}\ne [/mm] a.

Es ist

[mm] \wurzel{a^2}=|a| [/mm]

FRED

Bezug
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