Ableitung nach einer Funktion? < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:11 Mi 12.03.2008 | | Autor: | Billy003 |
| Aufgabe | Hallo Leute,
habe folgende Frage:
Wenn ich zum Beispiel den Term [mm] \bruch{\partial u}{\partial x} [/mm] betrachte, kann ich diesen Term auch nach u ableiten und nicht unbedingt nach x oder ist das totaler Schwachsinn?
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Wie ich darauf komme?
Setze mich mit der Euler-Lagrange-Gleichung der Variationsrechnung auseinander und da muss man ja nach der Funktion u selbst ableiten.
Soweit ist das auch kein Problem , wenn man die Funktion F((gradient u),u,x) betrachtet und dann jeweils nach diesen Argumenten ableitet , wenn diie Funktionen genauso da stehen, aber was ist wenn zb die Funktion [mm] F=\bruch{1}{2} [/mm] * [mm] |Du|^2 [/mm] betrachtet wird und das quasi in die Gleichung einsetzt.., wobei "Du" den Gradienten darstellen soll..
Dann weiß ich leider nicht mehr weiter..
Hoffe, dass ihr mir vielleicht helfen könnt und viele Grüße
Billy
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:54 Mi 12.03.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Wenn du u nach u ableitest kommt 1 raus, wenn du also unbedingt du/dx=du/du*du/dx schreiben willst ist das nicht falsch.
Aber was das mit [mm] |gradu|^2 [/mm] zu tun hat versteh ich nicht, wie man den Betrag eines vektors, hier gradu ausrechnet ist doch hoffentlich klar?
Gruss leduart
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 17:59 Mi 12.03.2008 | | Autor: | Billy003 |
Hallo Leduart,
erst einmal vielen Dank für deine Antwort.
Nee, also direkt hat das nichts damit zu tun,
es ging mir um einen Teilbereich dieser Euler-Lagrange-Gleichung.
Die Funktion [mm] f=\bruch{1}{2} [/mm] * |grad [mm] u|^2 [/mm] soll diese Gleichung erfüllen und in dieser Gleichung kommen eben auch Ableitungen nach der Funktion u vor, von welcher hier der Gradient gebildet worden ist.
Ich muss in dieser speziellen Funktion auch [mm] \bruch{\partial u}{\partial x} [/mm] nach u ableiten, das war genau mein Problem gewesen, aber versuchs jettz auf jeden Fall mal so wie du es geschrieben hast.
Mich hat die Tatsache allgemein nur verwundert.
Viele Grüße,
Billy
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Hi,
> Hallo Leute,
>
> habe folgende Frage:
>
> Wenn ich zum Beispiel den Term [mm]\bruch{\partial u}{\partial x}[/mm]
> betrachte, kann ich diesen Term auch nach u ableiten und
> nicht unbedingt nach x oder ist das totaler Schwachsinn?
>
> Wie ich darauf komme?
>
> Setze mich mit der Euler-Lagrange-Gleichung der
> Variationsrechnung auseinander und da muss man ja nach der
> Funktion u selbst ableiten.
> Soweit ist das auch kein Problem , wenn man die Funktion
> F((gradient u),u,x) betrachtet und dann jeweils nach diesen
> Argumenten ableitet , wenn diie Funktionen genauso da
> stehen, aber was ist wenn zb die Funktion [mm]F=\bruch{1}{2}[/mm] *
> [mm]|Du|^2[/mm] betrachtet wird und das quasi in die Gleichung
> einsetzt.., wobei "Du" den Gradienten darstellen soll..
> Dann weiß ich leider nicht mehr weiter..
>
ich denke, du verwechselst funktion mit funktional, oder? eine Funktion nach sich selbst abzuleiten, macht sicherlich keinen sinn. In der variationsrechnung leitet man aber, wie du anscheinend schon weisst, funktionale nach funktionen ab. Allerdings ist es auch nicht ganz so, weil man die problematik auf eindimensionale ableitung zurueckfuehrt. Klassisches beispiel ist das energie-funktional
[mm] $E(u)=\int|\nabla u|^2$
[/mm]
man berechnet nun die ableitung dieses funktionals in 'richtung' einer funktion $v$ als
[mm] $\frac{\delta E}{\delta v}(u)=\frac {d}{d\epsilon}E(u+\epsilon v)|_{\epsilon=0}=2\int |\nabla [/mm] u| [mm] \frac{\nabla u}{|\nabla u|}\cdot\nabla [/mm] v$
[mm] $=2\int \nabla u\cdot\nabla [/mm] v$
Als notwendige bedingung fuer ein extremum des funktionals muss also dieser ausdruck =0 sein fuer alle 'testfunktionen' $v$ (euler-lagrange-gleichung). $v$ ist dabei meistens so vorausgesetzt, dass es null-randbedingungen erfuellt. Integriert man partiell, erkennt man dass der laplaceoperator [mm] $\Delta [/mm] u=0$ sein muss.
hilft dir das weiter?
gruss
matthias
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