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| Aufgabe | Berechnen Sie die Ableitung der Funktion
f: [mm] R^{n\times n}\rightarrow R^{n\times n}: A\mapsto A^3 [/mm] |
Hallo,
also wir hatten hierzu schon eine ähnliche Aufgabe im Skript, gleiche Aufgabenstellung für die Funktion
f: [mm] R^{n\times n}\rightarrow R^{n\times n}: A\mapsto A^2.
[/mm]
Allerdings verstehe ich nicht, wie die Lösung hierbei zustande kommt. Also da heißt es:
[mm] f:A\mapsto A^2
[/mm]
Dann ist f'(A) [mm] \in Hom(Hom(\mathbb{R}^n, \mathbb{R}^n), Hom(\mathbb{R}^n, \mathbb{R}^n)), [/mm] d.h., Element eines Raumes mit Dimesion [mm] n^4. [/mm] Es gilt
[mm] f(A+H)=(A+H)^2=A^2*AH+HA+H^2 [/mm] (bis hierhin ist noch alles klar)
Daher ist f'(A) durch die lineare Abbildung [mm] H\mapsto [/mm] AH+HA.
Den letzten Satz verstehe ich nicht, bzw. wie man auf die Lösung kommt. Ich denke, wenn ich das verstünde, würde ich evtl. auch bei der eigentlichen Aufgabe weiterkommen.
Vielen Dank schonmal im Voraus für Tips und beste Grüße
vom congo
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> Berechnen Sie die Ableitung der Funktion
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> f: [mm]R^{n\times n}\rightarrow R^{n\times n}: A\mapsto A^3[/mm]
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> Hallo,
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> also wir hatten hierzu schon eine ähnliche Aufgabe im
> Skript, gleiche Aufgabenstellung für die Funktion
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> f: [mm]R^{n\times n}\rightarrow R^{n\times n}: A\mapsto A^2.[/mm]
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> Allerdings verstehe ich nicht, wie die Lösung hierbei
> zustande kommt. Also da heißt es:
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> [mm]f:A\mapsto A^2[/mm]
> Dann ist f'(A) [mm]\in Hom(Hom(\mathbb{R}^n, \mathbb{R}^n), Hom(\mathbb{R}^n, \mathbb{R}^n)),[/mm]
> d.h., Element eines Raumes mit Dimesion [mm]n^4.[/mm] Es gilt
>
> [mm]f(A+H)=(A+H)^2=A^2*AH+HA+H^2[/mm] (bis hierhin ist noch alles
> klar)
Das war wahrschenlich ein Tippfehler, aber obrige Gleichung stimmt nicht und sollte
[mm] f(A+H)=(A+H)^2=A^2 [/mm] + [mm] AH+HA+H^2
[/mm]
lauten.
> Daher ist f'(A) durch die lineare Abbildung [mm]H\mapsto[/mm] AH+HA.
Überlege, wie das Differential einer Funktion definiert war.
Versuch mal, bei obriger Gleichung [mm] A^2 [/mm] auf die linke Seite zu bringen, und schau sie dir dann nochmals an.
> Den letzten Satz verstehe ich nicht, bzw. wie man auf die
> Lösung kommt. Ich denke, wenn ich das verstünde, würde
> ich evtl. auch bei der eigentlichen Aufgabe weiterkommen.
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> Vielen Dank schonmal im Voraus für Tips und beste Grüße
>
> vom congo
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Hallo,
ja du hast Recht, da hab ich mich vertippt.
Ich glaube ich habs verstanden.
Ich schreib mal nieder, was ich nun zur eigentlichen Aufgabe habe:
[mm] f:A\mapsto A^3 [/mm] ist diffbar, wenn lin. Abb. [mm] L:\mathbb{R}^{n \times n}\rightarrow \mathbb{R}^{n \times n} [/mm] existiert mit:
[mm] \lim_{H\rightarrow 0} \bruch{||f(A+H)-f(A)-L(H)||}{||H||}=0 (\*)
[/mm]
[mm] f(A+H)=(A+H)^3=(A^2+ AH+HA+H^2)(A+H)
[/mm]
[mm] =A^3+A^2 H+AHA+AH^2 +HA^2 +HAH+H^2 A+H^3
[/mm]
Also ist [mm] L(H)=A^2H+AHA+AH^2*HA^2+HAH+H^2A
[/mm]
[mm] \Rightarrow (\*)=\lim_{H\rightarrow 0}\bruch{||H^3||}{||H||}=\lim_{H\rightarrow 0}||H^2||=0
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] f'(A): [mm] H\mapsto A^2H+AHA+AH^2*HA^2+HAH+H^2A
[/mm]
Stimmt das so?
Besten Gruß
vom congo.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:20 Sa 29.05.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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