Ableitung per Kettenregel < Rationale Funktionen < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:31 Sa 15.05.2010 | | Autor: | tumas |
| Aufgabe | | (1) f(x) = [mm] \bruch{3x}{x^{2}+1} [/mm] |
Hallo allerseits !
Ich möchte die Funktion (1) mit der Kettenregel ableiten.
Zunächst würde ich zu Funktion (2) umstellen.
(2) f(x) = 3x * [mm] (x^{2} +1)^{-1}
[/mm]
Ist zwei der richtige Weg, um diese Funktion mit der Kettenregel abzuleiten?.
Nun würde ich die äussere Funktion bestimmen a(x) = 3x [mm] (I)^{-1} [/mm] die Ableitung der äusseren Funktion ist a'(x)= [mm] -3x(I)^{-2} [/mm] .
Die Innere Funktion lautetet [mm] I=x^{2}+1 [/mm] die Ableitung der inneren Funktion lautet I'=2x.
Also müsste die erste Ableitung der Funktion lauten:
[mm] -3x*(x^{2}+1)^{-2} [/mm] * 2x
Dies würde ich wiederum so schreiben:
[mm] -3x*\bruch{1}{(x^{2}+1)^{2}} [/mm] *2x
und weiter
[mm] -6x^{2}*\bruch{1}{x^{4}+2x^{2}+1}
[/mm]
Bin ich auf dem richtigen weg ?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:44 Sa 15.05.2010 | | Autor: | tumas |
Ja die sagt mir was. Ich will diese Funktion aber mit der Kettenregel ableiten, deshalb wollte ich Fragen ob ich richtig vorgehe.
Vielen Dank für deine Antwort Olli!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:47 Sa 15.05.2010 | | Autor: | oli_k |
Kein Problem, sorry, dann lass ich mal einen von den Cracks ran 
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:50 Sa 15.05.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
So wie du die fkt umgeschrieben hast brauchst du Produkt UND kettenregel.
du kannst [mm] 3x*(x^2+1)^{-1} [/mm] nicht als f(g(x)) schreiben. nur [mm] (x^2+1)^{-1} [/mm] ist ne verkettete Funktion innere fkt [mm] g(x)=x^2+1 [/mm] äussere [mm] f=(g)^{-1}.
[/mm]
gruss leduart
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(Korrektur) oberflächlich richtig  | | Datum: | 00:52 Sa 15.05.2010 | | Autor: | oli_k |
Sprich, du kannst eine Funktion vom Typ x/x bzw x*x nicht als Verkettung mehrerer Funktionen auffassen, da es keine klare "Funktionsvorschrift" für die äußere Funktion gibt!
edit: Huch, Korrektur sollte das jetzt nicht sein, wollte einfach nur noch was dazu anmerken 
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:04 So 16.05.2010 | | Autor: | tumas |
Würdest du dann so vorgehen:
u= 3x
u'=3
v= [mm] (x^{2}+1)^{-1}
[/mm]
v'= -1 [mm] (x^{2}+1)^{-2} [/mm] * 2x
Produktregel : u'*v + u*v'
Also:
3* [mm] (x^{2}+1)^{-1} [/mm] + 3x * [mm] -1*(x^{2}+1)^{-2} [/mm] * 2x
ich würde nun etwas zusammenfassen zu:
3* [mm] (x^{2}+1)^{-1} [/mm] + [mm] 6x^{2} -1*(x^{2}+1)^{-2} [/mm]
Und nun hänge ich ein wenig am "handwerklichen", wie geht es weiter?
Vielen Dank für eure Tipps
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Hallo, zunächst fehlen Klammer
[mm] 3*(x^{2}+1)^{-1}+6x^{2}*( -1*(x^{2}+1)^{-2})
[/mm]
[mm] 3*(x^{2}+1)^{-1}-6x^{2}*(x^{2}+1)^{-2}
[/mm]
[mm] \bruch{3}{x^{2}+1}-\bruch{6x^{2}}{(x^{2}+1)^{2}}
[/mm]
jetzt erweitere mal den 1. Bruch mit [mm] x^{2}+1
[/mm]
Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:31 So 16.05.2010 | | Autor: | tumas |
Hallo Steffi,
vielen Dank für deine rasche Antwort. Ich komme dann auf:
f'(x)= [mm] \bruch{-3x^{2}+3}{x^{4}+2x^{2}+1}
[/mm]
Korrekt?
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Hallo, korrekt, ob man im Nenner die Binomische Formel benutzt, da gehen sicherlich die Meinungen auseinander, du kannst auch [mm] (x^{2}+1)^{2} [/mm] stehen lassen, Steffi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:47 So 16.05.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo Steffi!
> ob man im Nenner die Binomische Formel benutzt, da gehen sicherlich die
> Meinungen auseinander
Wenn man hier noch die 2. Ableitung bilden muss, sollte man es auf jeden Fall nicht-ausmultipliziert stehen lassen.
Außerdem: warum mehr rechnen als notwendig, was auch nur eine zusätzliche Fehlerquelle birgt.
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:04 Sa 15.05.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo tumas!
Bitte achte bei Deinen Fragestellungen auch darauf, in welchem Unterforum Du Deine Fragen postest.
Du willst mir doch nicht allen Ernstes vormachen, dass diese Aufgabe in den Schulstoff der Klassen 5-7 gehört? Und das machst Du regelemäßig hier ...
Bitte aktualisiere auch mal Dein Profil und verrate Deinen mathematischen Background.
Zumal du hier auch schon Fragen zu "partiellen Ableitungen" gestellt hast.
Ich verschiebe jetzt mal diesen Thread.
Gruß
Loddar
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