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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:54 Mo 24.11.2008 | | Autor: | SusanneK |
| Aufgabe | Sei [mm] I \in \IR [/mm] ein Intervall mit mehr als einem Punkt, sei [mm] f: I \to \IR [/mm]
Beweisen oder widerlegen Sie für f als differenzierbare Funktion und f im Allgemeinen:
1) Ist I ein beschränktes Intervall, so ist f' beschränkt.
2) Ist f' beschränkt, so ist f sogar gleichmässig stetig auf I. |
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
Hallo,
Zu 1) denke ich, dass die Aussage für differenzierbare Funktionen stimmt und im Allgemeinen ja wohl nur für stetige Funktionen, sonst gibt es doch gar kein f'.
Nur wie beweise ich es?:
Seien a und b die Intervallgrenze, a < b, dann gibt es ein Supremum in [mm] x_0, [/mm] und [mm] f'(x_0) [/mm] ist dann auch das Supremum von f' und damit ist f' auch beschränkt... so in die Richtung ?
Zu 2) denke ich, wenn es f' gibt, dann ist f auf jeden Fall differenzierbar und die allgemeine Betrachtung der Funktion ist gleich der differenzierbaren Funktion. Glm Stetigkeit ist in einem beschränkten Intervall immer gegeben. Also müsste ich eigentlich Aussage 1 bewiesen haben, um diese Aussage als richtig zu beweisen.
Stimmt das ?
Danke, Susanne.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:03 Mo 24.11.2008 | | Autor: | fred97 |
Aussage 1) ist falsch !
sei f(x) = [mm] x^{3/2}sin(1/x) [/mm] für x [mm] \not= [/mm] 0 und f(0) = 0.
Zeige: f ist auf [0,1] differenzierbar, aber f' ist auf [0,1] nicht beschränkt.
Aussage 2) ist richtig. Das beweist man am einfachsten mit dem Mittelwertsatz.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:04 Mo 24.11.2008 | | Autor: | SusanneK |
Hallo Fred,
vielen, vielen Dank für Deine schnelle Hilfe !
> Aussage 1) ist falsch !
>
> sei f(x) = [mm]x^{3/2}sin(1/x)[/mm] für x [mm]\not=[/mm] 0 und f(0) = 0.
>
> Zeige: f ist auf [0,1] differenzierbar, aber f' ist auf
> [0,1] nicht beschränkt.
Oje, wie sieht denn davon die Ableitung aus, das war irgend etwas mit cosinus - oder ?
Da wir bisher noch keinen Sinus bearbeitet haben (in der Schule natürlich schon, aber das ist sehr lange her), habe ich mir überlegt, ob das Gegenbeitspiel auch so aussehen könnte (wenn ich Dein Beispiel richtig verstanden habe):
[mm] f(x)=\wurzel{x}, f'(x)=\bruch{1}{2\wurzel{x}} [/mm]
Dann wäre f differenzierbar im Intervall ]0,1] (ist das dann kein beschränktes Intervall mehr ?), aber die Ableitung nicht, denn sie geht für x gegen 0 auf Unendlich.
Geht das ?
>
> Aussage 2) ist richtig. Das beweist man am einfachsten mit
> dem Mittelwertsatz.
Hier mein Versuch:
Sei [mm] I=[a,b] [/mm], dann gilt [mm] f'(x_0)=\bruch{f(b)-f(a)}{b-a} [/mm] für jedes [mm] x_0 \in I [/mm]. Im Skript steht, jeder Mittelwert kann so dargestellt werden: [mm] x_0=b+\omega(a-b) [/mm] und [mm] \omega \in ]0,1[ [/mm]
Aber so richtig komme ich hier nicht weiter, ich muss doch zeigen, dass wenn f' beschränkt ist, dann ist auch f beschränkt und damit glm.stetig - oder ?
Muss ich dafür [mm] x_0 [/mm] gegen a oder b laufen lassen ?
Danke, Susanne.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 06:40 Di 25.11.2008 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Fred,
> vielen, vielen Dank für Deine schnelle Hilfe !
>
> > Aussage 1) ist falsch !
> >
> > sei f(x) = [mm]x^{3/2}sin(1/x)[/mm] für x [mm]\not=[/mm] 0 und f(0) = 0.
> >
> > Zeige: f ist auf [0,1] differenzierbar, aber f' ist auf
> > [0,1] nicht beschränkt.
> Oje, wie sieht denn davon die Ableitung aus, das war
> irgend etwas mit cosinus - oder ?
> Da wir bisher noch keinen Sinus bearbeitet haben (in der
> Schule natürlich schon, aber das ist sehr lange her), habe
> ich mir überlegt, ob das Gegenbeitspiel auch so aussehen
> könnte (wenn ich Dein Beispiel richtig verstanden habe):
> [mm]f(x)=\wurzel{x}, f'(x)=\bruch{1}{2\wurzel{x}}[/mm]
> Dann wäre f
> differenzierbar im Intervall ]0,1] (ist das dann kein
> beschränktes Intervall mehr ?), aber die Ableitung nicht,
> denn sie geht für x gegen 0 auf Unendlich.
> Geht das ?
Ja
> >
> > Aussage 2) ist richtig. Das beweist man am einfachsten mit
> > dem Mittelwertsatz.
> Hier mein Versuch:
> Sei [mm]I=[a,b] [/mm], dann gilt [mm]f'(x_0)=\bruch{f(b)-f(a)}{b-a}[/mm] für
> jedes [mm]x_0 \in I [/mm]. Im Skript steht, jeder Mittelwert kann so
> dargestellt werden: [mm]x_0=b+\omega(a-b)[/mm] und [mm]\omega \in ]0,1[[/mm]
> Aber so richtig komme ich hier nicht weiter, ich muss doch
> zeigen, dass wenn f' beschränkt ist, dann ist auch f
> beschränkt und damit glm.stetig - oder ?
> Muss ich dafür [mm]x_0[/mm] gegen a oder b laufen lassen ?
Da f' auf I beschränkt ist, ex. ein M mit |f'(x)| [mm] \le [/mm] M für jedes x in I
Seien x,y [mm] \in [/mm] I, etwa x<y . Nach dem Mittelwertsatz gibt es ein t zwischen x und y mit:
f(x) - f(y) = f'(t)(x-y), also |f(x) - f(y)| = |f'(t)| |(x-y)| [mm] \le [/mm] M|x-y|
Siehst Du jetzt, dass f glm. stetig ist ?
FRED
>
> Danke, Susanne.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:45 Di 25.11.2008 | | Autor: | SusanneK |
Guten Morgen Fred,
VIELEN VIELEN DANK für Deine Hilfe !!
Offensichtlich hatte ich den Mittelwertsatz überhaupt noch nicht verstanden. Danke, für Deine tolle Erklärung des Beweises !
LG, Susanne.
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