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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:54 Do 06.03.2008 | | Autor: | Franzia |
| Aufgabe | Gegeben ist [mm] f(x)=x³*e^x.
[/mm]
a)ermittle die Nullstellen der Funktion sowie die Extrem-und Wenepunkte.Charakterisiere des verhlaten der Funktion für x gegen +- unendlich.
b) t sei die Tangente an dem graphen von f im Punkt (1/f(1)).Berechne den SP von t mit der y-Achse.
c)Ermittle für welche Werte von a,b,c die Funktion [mm] F(X)=e^x(x³+ax²+bx+c) [/mm] eine Stammfunktion fon f ist. |
Habe jetzt Nullstellen berechnet und bin auf 0 eben gekommen.
Nun habe ich um die Extrem-und Wendepunkte die 1.Ableitung gebildet.
[mm] f´(x)=e^x*x³+3x²*e^x
[/mm]
ist das richtig und wenn ja kann mir jemand bei der 2.Ableitung helfen?weil sonst kann ich die Aufgabe nicht weiter lösen.
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Hallo Franzia!
> Gegeben ist [mm]f(x)=x³*e^x.[/mm]
> a)ermittle die Nullstellen der Funktion sowie die
> Extrem-und Wenepunkte.Charakterisiere des verhlaten der
> Funktion für x gegen +- unendlich.
> b) t sei die Tangente an dem graphen von f im Punkt
> (1/f(1)).Berechne den SP von t mit der y-Achse.
> c)Ermittle für welche Werte von a,b,c die Funktion
> [mm]F(X)=e^x(x³+ax²+bx+c)[/mm] eine Stammfunktion fon f ist.
> Habe jetzt Nullstellen berechnet und bin auf 0 eben
> gekommen.
> Nun habe ich um die Extrem-und Wendepunkte die 1.Ableitung
> gebildet.
>
> [mm]f´(x)=e^x*x³+3x²*e^x[/mm]
>
> ist das richtig und wenn ja kann mir jemand bei der
> 2.Ableitung helfen?weil sonst kann ich die Aufgabe nicht
> weiter lösen.
Ja, das ist schon mal richtig. Nun kannst du entweder [mm] e^x [/mm] ausklammern, dann erhältst du: [mm] f'(x)=e^x(3x^2+x^3), [/mm] darauf kannst du die  Produktregel anwenden (das ist in diesem Fall recht einfach, da die Ableitung von [mm] e^x [/mm] ja [mm] e^x [/mm] ist und den Term in der Klammer kannst du auch ganz einfach ableiten), oder du klammerst sogar [mm] x^2e^x [/mm] aus, dann hast du: [mm] x^2e^x(3+x), [/mm] darauf kannst du auch die Produktregel anwenden, musst allerdings um die Ableitung des Terms vor der Klammer zu berechnen, noch einmal die Produktregel anwenden.
Zur Übung und Korrektur kannst du ja auch mal beides versuchen. 
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:12 Do 06.03.2008 | | Autor: | Franzia |
so nun habe ich abgeleitet und bin auf das ergebnis
[mm] f´´(x)=e^*(3x²+x³)+(6x+3x²)*e^x
[/mm]
jetzt muss ich ja für die extremstelle die erste ableitung 0 setzen und dann das ergebnis in die 2.Ableitung um zu schauen ob ein Hoch-oder Tiefpunkt?
Wie bekommen ich dann genau den punkt heraus?
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Hallo Franzia,
> so nun habe ich abgeleitet und bin auf das ergebnis
>
> [mm]f´´(x)=e^*(3x²+x³)+(6x+3x²)*e^x[/mm]
[mm]f''(x)=e^{\red{x}}*(3x²+x³)+(6x+3x²)*e^x[/mm]
Stimmt. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Noch ein bischen zusammenfassen, dann steht da:
[mm]f''(x)=x*e^x*\left(x^{2}+6x+6\right)[/mm]
>
> jetzt muss ich ja für die extremstelle die erste ableitung
> 0 setzen und dann das ergebnis in die 2.Ableitung um zu
> schauen ob ein Hoch-oder Tiefpunkt?
Genau richtig.
> Wie bekommen ich dann genau den punkt heraus?
Setze den x-Wert in [mm]f\left(x\right)[/mm] ein.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:36 Do 06.03.2008 | | Autor: | Franzia |
so,habe jetzt auch schon die Extremstellen berechnet und bin auf einen Tiefpunkt mit den Werten (-3/-1,34) gekommen.hoffe ist soweit richtig.nun brauche ich ja für die wendestelle noch die 3.Ableitung oder?
die wäre ja: [mm] e^x*(x²+6x+6)+(2x+6)*x*e^x
[/mm]
hoffe das stimmt soweit...hoffe ich nerve dich nciht damit...
zusammenfassen kann ich nicht sehr gut deshalb immer so die ableitungen
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Hallo Franzia,
> so,habe jetzt auch schon die Extremstellen berechnet und
> bin auf einen Tiefpunkt mit den Werten (-3/-1,34)
> gekommen.hoffe ist soweit richtig.nun brauche ich ja für
> die wendestelle noch die 3.Ableitung oder?
Die 3. Ableitung wird benötigt, um zu prüfen, ob wirklich ein Wendepunkt vorliegt.
>
> die wäre ja: [mm]e^x*(x²+6x+6)+(2x+6)*x*e^x[/mm]
Da fehlt doch was:
[mm]f'''\left(x\right)=\red{e^{x}*x*\left(x^{2}+6x+6\right)}+e^x*(x²+6x+6)+(2x+6)*x*e^x[/mm]
>
> hoffe das stimmt soweit...hoffe ich nerve dich nciht
> damit...
> zusammenfassen kann ich nicht sehr gut deshalb immer so
> die ableitungen
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:16 Do 06.03.2008 | | Autor: | Franzia |
so das habe ich jetzt alles schön gemacht...nun klebe ich an aufgabe c da ich keine ahnng habe wie das mit der stammfunktion funktioniert und wie ich es ermitteln kann...bite um hilfe.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:21 Do 06.03.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Franzia!
Ermittle die Ableitung $F'(x)_$ von $ [mm] F(x)=e^x*\left(x^3+a*x^2+b*x+c\right) [/mm] $ und führe anschließend einen Koeffizientenvergleich mit $f(x) \ = \ [mm] x^3*e^x [/mm] \ = \ [mm] e^x*\left(x^3+0*x^2+0*x+0\right)$ [/mm] durch.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:42 Do 06.03.2008 | | Autor: | Franzia |
kannst du mir das näher erläutern da ja meine aufgabe darin besteht für welch werte für a,b und c dies eine stammfunktion ist
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Hallo,
zunächst benötigst du die Ableitung von
[mm] F(x)=e^{x}(x^{3}+ax^{2}+bx+c)
[/mm]
nach Produktregel erhälst du
[mm] F'(x)=e^{x}(3x^{2}+2ax+b)+e^{x}(x^{3}+ax^{2}+bx+c)
[/mm]
[mm] e^{x} [/mm] ausklammern
[mm] F'(x)=e^{x}\{x^{3}+(3+a)x^{2}+(2a+b)x+b+c\}
[/mm]
[mm] f(x)=e^{x}\{x^{3}\}
[/mm]
[mm] f(x)=e^{x}\{x^{3}+0x^{2}+0x+0\}
[/mm]
jetzt Koeffizientenvergleich:
3+a=0
2a+b=0
b+c=0
du erhälst
a=-3
b=6
c=-6
Steffi
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