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| Aufgabe | | Sei n > 1 eine ganze Zahl. Man zeige, dass es eine differenzierbare Funktion y(x) auf [0,a] für genügend kleines a > 0 gibt, deren Ableitung gleich der n-ten Potenz von y(x) ist und so dass y(0) > 0 gilt. Wie sieht diese Funktion aus? Gibt es eine solche Funktion auch auf [0,a] für beliebiges a > 0? |
Zum einen frage ich mich, ob die erste Ableitung gleich der n-ten Potenz sein soll, oder die n-te Ableitung gleich der n-ten Potenz ist.
Bis jetzt habe ich es so interpretiert, dass [mm] y'=y^n [/mm] sein soll.
Nach langem rumprobieren mittels trial and error [mm] (exp(x^n) exp(exp(x^n)) [/mm] usw) habe ich leider noch nichts rausbekommen. Gibt es irgendwelche Ansätze, die helfen, die Aufgabe zu lösen?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:29 Mi 13.05.2009 | | Autor: | abakus |
> Sei n > 1 eine ganze Zahl. Man zeige, dass es eine
> differenzierbare Funktion y(x) auf [0,a] für genügend
> kleines a > 0 gibt, deren Ableitung gleich der n-ten Potenz
> von y(x) ist und so dass y(0) > 0 gilt. Wie sieht diese
> Funktion aus? Gibt es eine solche Funktion auch auf [0,a]
> für beliebiges a > 0?
> Zum einen frage ich mich, ob die erste Ableitung gleich
> der n-ten Potenz sein soll, oder die n-te Ableitung gleich
> der n-ten Potenz ist.
>
> Bis jetzt habe ich es so interpretiert, dass [mm]y'=y^n[/mm] sein
> soll.
> Nach langem rumprobieren mittels trial and error [mm](exp(x^n) exp(exp(x^n))[/mm]
> usw) habe ich leider noch nichts rausbekommen. Gibt es
> irgendwelche Ansätze, die helfen, die Aufgabe zu lösen?
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Hallo,
das mit dem "genügend kleinen a" klingt nach Konvergenzradius.
Vielleicht setzt du für y mal ein beliebiges Taylorpolynom an?
Gruß Abakus
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Hallo,
mit dem Taylorpolynom komme ich nicht weiter. Selbst wenn ich eine linearfaktorzerlegung mache, sehe ich nicht, wo [mm] y'=y^n [/mm] werden sollte. Gibts da noch nen weiteren Trick?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:51 Do 14.05.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
[mm] y'=y^n [/mm] ist doch einfach ne sehr einfache Dgl. die man mir Separation der Variablen loesen kann, und dann nachsehen. ob die anderen Bed. erfuellt sind.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:01 Do 14.05.2009 | | Autor: | Phecda |
hallo sitz vor der gleichen aufgabe.
anscheinend studieren wir das selbe ;)
als lösung würde ich mal:
[mm] y(x)=\bruch{1}{(1-n)x+C}^{\bruch{1}{n-1}} [/mm] mit C [mm] \in \IR [/mm] vorschlagen.
ich weiß nun nicht was es mit dem ganzen drumherum auf sich hat.
Was soll ich mit der Frage um das a anfangen?
Wäre cool wenn jmd uns das erklären könnte ;)
danke
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:16 Do 14.05.2009 | | Autor: | fred97 |
Du hast richtig gerechnet
Schreiben wir die Lösung mal so:
$y(x) = [mm] \bruch{1}{\wurzel[n-1]{(1-n)x+C}}$
[/mm]
Nun siehst Du, diese Lösung ist nur für x mit (1-n)x+C > 0 definiert.(übrigends ist C>0 (warum?))
Es gilt:
(1-n)x+C > 0 [mm] \gdw [/mm] x< [mm] \bruch{C}{n-1}
[/mm]
Ist also a>0 und a< [mm] \bruch{C}{n-1}, [/mm] so ist y auf [0,a] definiert.
Auf die Frage
"Gibt es eine solche Funktion auch auf [0,a] für beliebiges a > 0?"
muß man natürlich mit Nein antworten , denn für x [mm] \in [/mm] [0,a] muß ja x< [mm] \bruch{C}{n-1} [/mm] gelten
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:02 Do 14.05.2009 | | Autor: | Phecda |
hallo sitz vor der gleichen aufgabe.
anscheinend studieren wir das selbe ;)
als lösung würde ich mal:
[mm] y(x)=\bruch{1}{(1-n)x+C}^{\bruch{1}{n-1}} [/mm] mit C [mm] \in \IR [/mm] vorschlagen.
ich weiß nun nicht was es mit dem ganzen drumherum auf sich hat.
Was soll ich mit der Frage um das a anfangen?
Wäre cool wenn jmd uns das erklären könnte ;)
danke :)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:16 Do 14.05.2009 | | Autor: | fred97 |
Ist oben schon beantwortet
FRED
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:23 Do 14.05.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Wenn der Nenner 0 wird ist die fkt nicht mehr differenzierbar. aus [mm] y(0)=y_0>0 [/mm] kann man C ausrechnen, und daraus sehen, bis zu welchen x das diffb. ist.
Gruss leduart
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