Ableitung von ^2 < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:09 Do 22.11.2007 | | Autor: | swine |
| Aufgabe | Bestimmen die erste Ableitung von
[mm] y=x^3(lnx)^2
[/mm]
Lösungsweg:
[mm] x^3(2lnx*\bruch{1}{x})+3x^2(lnx)^2
[/mm]
[mm] x^3(2lnx)+3x^2(lnx)^2
[/mm]
x^3lnx(2+3lnx) |
Hallo
Mein Problem liegt an folgender Stelle:
Wieso wird aus [mm] (lnx)^2 [/mm] bei der Ableitung [mm] (2lnx*\bruch{1}{x})+3x^2(lnx)^2 [/mm] ?
Welche Theorie verbirgt sich dahinter? Kettenregel, Produkteregel?
Wie funktioniert die angwendete Theorie?
Für mich ist eigentlich klar, dass es zwei ln(x) gibt, aber wieso hat das erste eine 2 davor und einen zweiten abgeleiteten "ln" darin...
Ich hoffe ihr könnt mir helfen.
Danke
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:25 Do 22.11.2007 | | Autor: | Teufel |
Hallo!
Im großen und ganzen brauchst du die Produktregel und die Kettenregel für das (lnx)².
u=x³
v=(lnx)²
u'=3x²
[mm] v'=2lnx*\bruch{1}{x}=\bruch{2lnx}{x} [/mm] (Kettenregel)
(u*v)'=u'*v+u*v' (Produktregel)
[mm] (x³*(lnx)²)'=3x²*(lnx)²+x³*\bruch{2lnx}{x}=...
[/mm]
Klar soweit?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:37 Do 22.11.2007 | | Autor: | swine |
Hi Teufel
Danke für deine Hilfe.
Aber wieso wird aus v=(lnx)²
$ [mm] v'=2lnx\cdot{}\bruch{1}{x}=\bruch{2lnx}{x} [/mm] $
und nicht [mm] \bruch{2}{x}, [/mm] denn ln(x) ergbit doch abgeleitet [mm] \bruch{1}{x} [/mm] , oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:47 Do 22.11.2007 | | Autor: | Namisan |
HI,
Du hast schon recht das ln(x) abgeleitet ein 1/x ergibt.
Aber du solltest mal die Kettenregel benutzen um abzuleiten.
Es gibt ja gewissen Grundableitungen in den meisten Formelsammlungen. Schaust am besten immer mal darein. Meistens kannst du dann erkennen wie dus am einfachsten Ableitest.
Zb. ist ja [mm] a^{2} [/mm] abgeleitet 2*a . Das kennst du ja.
Ebenso wie die Ableitung von ln(x)
Also nimmst du die Kettenregel
f´(x)= F(u)*u´(x)
F(u) wählst du als die Äußere Funktion [mm] u^{2}
[/mm]
und
u=u(x)= die innere Funktion ln(x)
dann musst du die beiden nur noch einzeln ableiten, in die obige Formeleinsatzen und nicht vergessen ein u wieder zurück einzusetzen.
Ok?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:56 Do 22.11.2007 | | Autor: | swine |
hi Namisan
Danke dir.
Ich glaub ich kapiers.
Doch wie erkenn ich eine Funktion, bei der ich die Kettenregel einsetzen muss? Gibt es da eine Eselsbrücke oder ähnliches?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:05 Do 22.11.2007 | | Autor: | Namisan |
Ich würde sagen das ist eine gewisse Übungssache.
Ich hab zb eine Seite mit einfachen Ableitungen in meiner Formelsammlung. Und du musst dir die Funktion anschaun und die rauspicken was du einfach ableiten kannst.
Manchmal musst du auch eine Kettenregel in der Kettenregel machen. Oder Produkt und Kettenregel verbinden.
Wenn du ein Quadrat hast dann kannst du eigentlich immer davon ausgehen das du da mit der Kettenregel am besten klar kommst.
Zb. Du hast [mm] sin(x)*cos^{2}(x)
[/mm]
Da siehst du sin(x) und cos(x) kannst du einfach ableiten. Das nimmst du aus der Formelsammlung. UND du siehst das dazwischen ein * steht. Also Produktregel anwenden. Für das 2te Glied in er Funktion ist dir ein [mm] cos^{2}(x) [/mm] zu schwierig zum Ableiten. Aber du kennst cos(x) und du weisst was ein [mm] a^{2} [/mm] ist. Also Kettenregel anwenden. Alles zusammen schreiben und fertig ist deine Ableitung. Also zieh dir deine Komponenten immer schön auseinander Dann gehts meistens ganz einfach!
Viele Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:14 Do 22.11.2007 | | Autor: | Teufel |
Stell dir vor, du wolltest einen Funktionswert deiner Funktion berechnen und setzt für x irgendeine Zahl ein:
Und immer, wenn du erst einen "inneren Funktionswert" berechnen muss, bevor du zum eigentlichen Funktionswert kommst, hast du eine innere und eine äußere Funktion und damit eine Verkettung, bei der du beim Ableiten die Kettenregel anwenden müsstest.
Da ich den Satz selber unverständlich finde, hier ein paar Beispiele:
f(x)=lnx
Hier kannst du einfach z.B. 5 und dann die ln_taste drücken und kommst zum Funktionswert von 5. Also hast du hier keine Verkettung.
f(x)=(lnx)²
Hier müsstest du erst ln5 berechnen und das Ergebnis (von mir "innerer Funktionswert" genannt) nochmal quadrieren. Damit hast du hier eine Verkettung vorliegen, mit u(x)=lnx als innere und v(x)=x² als äußere Funktion.
[mm] f(x)=\wurzel{sinx}
[/mm]
Hier hättets du auch eine Verkettung. Äußere und innere Funktion kannst du ja hier mal selbst bestimmen, wenn du Lust hast ;) hoffe, das prinzip ist nun etwas klarer.
Natürlich gibt es auch noch mehrfachverkettete Funktionen wie
[mm] f(x)=\wurzel{sin(lnx)}. [/mm] Die sind natürlich ganz besonders schön ;)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:36 Fr 23.11.2007 | | Autor: | swine |
Danke schön euch Beiden. Ihr habt mir echt geholfen :)
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