Ableitung von Funkionen < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Für welche x [mm] \in \IR [/mm] sind folgende Funktionen differenzeirbar? Betimmen Sie die Ableitung.
a) [mm] |x|^{3}
[/mm]
b) [mm] e^{\bruch{1}{x}} [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
a) für x<0 habe ich [mm] -3x^2 [/mm] und für x>=0 habe ich [mm] 3x^2 [/mm] und ist die Funktion für alle x Element R differenzierbar? Ich glaube schon, oder?
b) hier glauba ich, dass die Funktion nur für x=0 nicht differenzierbar ist, sonst schon und die Ableitung ist:
[mm] \bruch{-e^{1/x}}{x^{2}}
[/mm]
ist das auch richtig?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:55 Do 27.11.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
In beiden Faellen hast du recht. die zweite fkt ist bei x=0 gar nicht definiert, also in ihrem ganzen Definitionsgebiet differenzierbar. die 1. fkt ist bei x=0 definiert, aber du musst zeigen, nicht nur glauben, dass sie bei x=0 auch differenzierbar ist, (im Gegensatz etwa zu f(x)=|x|)
Gruss leduart
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Wie weise ich denn überhaupt nach, dass [mm] |x|^{3} [/mm] an der Stelle 0 differenzierbar ist?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:12 Di 02.12.2008 | | Autor: | fred97 |
> Wie weise ich denn überhaupt nach, dass [mm]|x|^{3}[/mm] an der
> Stelle 0 differenzierbar ist?
Mit der Def. der Differenziebarkeit:
[mm] \limes_{x\rightarrow 0+}\bruch{f(x) - f(0)}{x-0} [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow 0+}\bruch{x^3}{x} [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow 0+}x^2 [/mm] = 0
und
[mm] \limes_{x\rightarrow 0-}\bruch{f(x) - f(0)}{x-0} [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow 0-}\bruch{-x^3}{x} [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow 0+}(-x^2) [/mm] = 0
D.h.: fist in 0 differenziebar und f'(0) = 0
FRED
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| Aufgabe | | Man bilde die Ableitung [mm] \wurzel{x \wurzel{x \wurzel{x}}} [/mm] |
Es gibt hier ja mehrere Möglichkeiten. Einmal habe ich das mit der Kettenregel und Produktregel angefangen, aber das ist ein ziemliches Chaos! Einfacher ist es doch so:
[mm] \wurzel{x \wurzel{x \wurzel{x}}} [/mm] = [mm] \wurzel[2]{x} \wurzel[2]{x} \wurzel[8]{x} [/mm] <=> [mm] x^{\bruch{1}{2}} x^{\bruch{1}{4}} x^{\bruch{1}{8}} [/mm] <=> [mm] x^{\bruch{7}{8}}
[/mm]
die Ableitung wäre dann [mm] \bruch{7}{8}x^{\bruch{-1}{8}}
[/mm]
was ja [mm] \bruch{7}{8 \wurzel[8]{x}} [/mm] sein müsste. Ist das auch richtig?
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Hallo, so ist es korrekt, Steffi
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