Ableitung von Ln- Funktionen < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo zusammen,
ich habe einige Ableitungen berechnet, aber da ln- Funktionen manchmal ein wenig kompliziert sein können, würde ich mich freuen, wenn ihr korrigiert, wenn es falsch ist.
Danke schonmal...;)
Fangen wir mal an:
1) f(x)= [mm] ln(x^2+1)-lnx
[/mm]
f'(x)= [mm] 2x(x^2+1)-\bruch{1}{x}
[/mm]
f''(x)= [mm] 2(x^2+1)+4x^2+\bruch{1}{x^2}
[/mm]
f'''(x)= [mm] 6x^2+\bruch{1}{x^2}+2
[/mm]
2) g(x)= [mm] (lnx)^3-\bruch{19}{8}(lnx)^2+lnx
[/mm]
g'(x)= [mm] \bruch{3}{x}(lnx)^2-\bruch{38}{8x}(lnx)+\bruch{1}{x}
[/mm]
g''(x)= [mm] \bruch{6}{x^2}(lnx)+\bruch{38}{8x^2}(lnx)-\bruch{38}{8x^2}-\bruch{1}{x^2}
[/mm]
3) [mm] h(x)=\bruch{1}{(xlnx-x)}
[/mm]
[mm] h'(x)=-\bruch{1(xlnx-x)}{(xlnx-x)^2}
[/mm]
h''(x)= [mm] -\bruch{1/x(xlnx-x)^2-(-xlnx+x)2(xlnx-x)(lnx-1)}{(xlnx-x)^4}
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:27 Mi 19.03.2008 | | Autor: | Teufel |
Hi!
1.
ln(x²+1) ist nicht ganz richtig abgeleitet! Zwar hast du an die Kettenregel gedacht, aber irgendwo muss a auch ein Bruch stehen, da lnx abgeleitet ja auch [mm] \bruch{1}{x} [/mm] ist, wie du richtig hingeschrieben hast!
2.
g'(x) stimmt noch! Danach müsstest du aber nach Produktregel ableiten. Ich würde an deiner Stelle [mm] \bruch{1}{x} [/mm] ausklammern, sodass du sie nur einmal anwenden musst.
3.
Du hast nur die Quotientenregel nich ganz richtig angewendet!
Bei dir lautet sie: [mm] (\bruch{u}{v})'=\bruch{u'v-uv}{v²}
[/mm]
Siehst du den Fehler im Zähler?
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Danke erstmal für den Tipp!
Zu 1:
--> f'(x)= [mm] 2(x^2+1)-\bruch{1}{x}
[/mm]
--> f''(x)= [mm] 4x(x^2+1)+\bruch{1}{x^2}
[/mm]
Zu 3:
--> h'(x)= [mm] \bruch{(-xlnx+x)lnx}{(xlnx-x)^2}
[/mm]
--> h''(x)= [mm] \bruch{(-lnxlnx)+(-xlnx+x)\bruch{1}{x}-lnx(-xlnx+x)2(xlnx-x)lnx}{(xlnx-x)^4}
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:33 Mi 19.03.2008 | | Autor: | Zneques |
Hallo,
> > > f'(x)= [mm] 2x(x^2+1)-\bruch{1}{x}
[/mm]
> > ln(x²+1) ist nicht ganz richtig abgeleitet!
> f'(x)= [mm] 2(x^2+1)-\bruch{1}{x}
[/mm]
[mm] ln(x^2+1) [/mm] ist nicht ganz richtig abgeleitet! 
> [mm] h(x)=\bruch{1}{(xlnx-x)}
[/mm]
Es gilt : [mm] (\bruch{u}{v})'=\bruch{u'v-uv'}{v²}
[/mm]
mit u=1 und v=xlnx-x
d.h. u'=... und v'=...
Und dann alles zusammensetzen.
Ciao.
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Aber jetzt müsste es doch richtig sein, ich hab doch an alle Regel gedacht ,oder nicht? Was ist denn genau falsch??
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:40 Mi 19.03.2008 | | Autor: | Zneques |
> ich hab doch an alle Regel gedacht
Ich glaube schon.
> Aber jetzt müsste es doch richtig sein.
Leider nicht.
> [mm] f(x)=ln(x^2+1)-lnx
[/mm]
[mm] f'(x)=(ln(x^2+1)-lnx)'=(ln(x^2+1))'-(lnx)'
[/mm]
[mm] (lnx)'=\bruch{1}{x}
[/mm]
[mm] (ln(x^2+1))' [/mm] mittels Kettenregel, wobei ln(...) äußere Fkt. und [mm] x^2+1 [/mm] inner Fkt.
[mm] (ln(x^2+1))'=\bruch{1}{x^2+1}*(2x)
[/mm]
> [mm] h(x)=\bruch{1}{(xlnx-x)}
[/mm]
u=1
v=xlnx-x
Somit
$u'=0$
[mm] v'=(xlnx)'-(x)'=(x)'*lnx+x*(lnx)'-(x)'=lnx+1-1=lnx [/mm]
Nun probiere es nochmal.
Ciao.
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h'(x)= [mm] -1\bruch{lnx}{(xlnx-x)^2}
[/mm]
h''(x)= [mm] \bruch{-1/x(xlnx-x)^2+lnx(xlnx-x)2lnx}{(xlnx-x)^4}
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:05 Do 20.03.2008 | | Autor: | friendy88 |
Hallo, danke für deine Mühe. Ich hoffe dass ist jetzt so richtig. Ehrlich gesagt hat mich das "ln" verwirrt, ich dachte wenn es ohne ein x steht, kann man es wie eine Konstante behandeln.
Ich würd mich freuen, wenn du die Ableitungen eben durchschaust.
Lieben Gruß
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Hallo friendy88,
> h'(x)= [mm]-1\bruch{lnx}{(xlnx-x)^2}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
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> h''(x)= [mm]\bruch{-1/x(xlnx-x)^2+lnx(xlnx-x)2lnx}{(xlnx-x)^4}[/mm]
>
[mm]h''\left(x\right)[/mm] kann man noch etwas vereinfachen.
>
>
Gruß
MathePower
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