Ableitung von arccos(2x^2-1) < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Bestimme die Ableitung von arccos [mm] (2x^2-1) [/mm] |
Ich habe als Ergebnis für die Ableitung [mm] 8x^3-4 [/mm] / wurzelaus [mm] 1-x^2 [/mm] raus.
Stimmt das Ergebnis?
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> Bestimme die Ableitung von arccos [mm](2x^2-1)[/mm]
> Ich habe als Ergebnis für die Ableitung [mm]8x^3-4[/mm] / wurzelaus
> [mm]1-x^2[/mm] raus.
> Stimmt das Ergebnis?
Nein, leider nicht - und zwar sieht man dies ohne jede Rechnung. Der Funktionsterm [mm] $2x^2-1$ [/mm] der "inneren Funktion" muss in der Wurzel des Nenners auftreten:
[mm]\left(\arccos(2x^2-1)\right)' &=& -\frac{1}{\sqrt{1-(2x^2-1)^2}}\cdot 4x=-\frac{4x}{\sqrt{1-(2x^2-1)^2}}[/mm]
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Danke für deine Antwort!
Warum muss das [mm] (2x^2-1) [/mm] denn unter die Wurzel?
Ich dachte man rechnet dann die ableitung der äußeren funktion mal die innere funktion also 1/ wurzelaus [mm] 1-x^2 [/mm] * [mm] (2x^2-1) [/mm] und eben noch mal die ableitung der inneren funktion (4x)
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> Danke für deine Antwort!
> Warum muss das [mm](2x^2-1)[/mm] denn unter die Wurzel?
> Ich dachte man rechnet dann die ableitung der äußeren
> funktion mal die innere funktion also 1/ wurzelaus [mm]1-x^2[/mm] *
> [mm](2x^2-1)[/mm] und eben noch mal die ableitung der inneren
> funktion (4x)
Ist [mm] $\arccos(x)=u(v(x))$ [/mm] mit äusserer Funktion [mm] $u(v):=\arccos(v)$ [/mm] und innerer Funktion $v(x):= [mm] 2x^2-1$, [/mm] dann ist die äussere Ableitung [mm] $u'(v)=\red{-\frac{1}{\sqrt{1-v^2}}}$ [/mm] und die innere Ableitung [mm] $v'(x)=\blue{4x}$. [/mm] Die Kettenregel besagt, dass die Ableitung der zusammengesetzten Funktion gleich "äussere Ableitung mal innere Ableitung ist", wobei man in die äussere Ableitung für $v$ (nach dem Ableiten) wieder die innere Funktion $v(x)$ einsetzt. Also, wie ich geschrieben hatte,
[mm] [center]$\left(\arccos(2x^2-1)\right)' =\red{-\frac{1}{\sqrt{1-v^2}}}\cdot \blue{4x}= -\frac{1}{\sqrt{1-(2x^2-1)^2}}\cdot 4x=-\frac{4x}{\sqrt{1-(2x^2-1)^2}}$[/center]
[/mm]
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vielen Dank, jetzt habe ich es verstanden =),sorry stand ein wenig auf dem Schlauch...
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