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Ableitung von arctanh: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:45 Do 17.02.2011
Autor: frank85

Aufgabe
Zeigen Sie arctanh'(x) = [mm] \bruch{1}{1-x^2} [/mm]

Hey Leute,ich weiß nimmer weiter:(
Bin soweit gekommen:
[mm] tanh'(x)=\bruch{sinh}{cosh}=\bruch{cosh^2-sinh^2}{sinh^2}=\bruch{cosh^2}{sinh^2}-\bruch{sinh^2}{sinh^2}=\bruch{cosh^2}{sinh^2}-1=tanh^2-1 [/mm]
[mm] \Rightarrow f^{-1}(x)=\bruch{1}{f'(f^{-1}(x))} [/mm]
also ist [mm] arctanh'(x)=\bruch{1}{tanh^{2}(arctanh(x))^{-1}}=\bruch{1}{x^2-1} [/mm]
die Sache ist, das da laut Lösung eigentlich [mm] \bruch{1}{1-x^2} [/mm] rauskommen sollte. Der Fehler liegt wohl bei der Anwendung der Quotientenregel, denn in der Lösung wurde folgedens erhalten:
[mm] tanh'(x)=\bruch{sinh}{cosh}=\bruch{-sin sinh-cosh cosh}{cosh^2}=\bruch{cosh^2}{cosh^2}-\bruch{sinh^2}{cosh^2}=1-tanh^2 [/mm]
jetzt weiß ich nicht wieso die quotientenregel so umgewurschtelt wurde...kann mir jemand helfen?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.


        
Bezug
Ableitung von arctanh: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:52 Do 17.02.2011
Autor: fred97


> Zeigen Sie arctanh'(x) = [mm]\bruch{1}{1-x^2}[/mm]
>  Hey Leute,ich weiß nimmer weiter:(
>  Bin soweit gekommen:
>  
> [mm]tanh'(x)=\bruch{sinh}{cosh}=\bruch{cosh^2-sinh^2}{sinh^2}=\bruch{cosh^2}{sinh^2}-\bruch{sinh^2}{sinh^2}=\bruch{cosh^2}{sinh^2}-1=tanh^2-1[/mm]
>  [mm]\Rightarrow f^{-1}(x)=\bruch{1}{f'(f^{-1}(x))}[/mm]


Nach dem 2. "=" wirds falsch: im Nenner muß [mm] cosh^2 [/mm] stehen.


>  also ist
> [mm]arctanh'(x)=\bruch{1}{tanh^{2}(arctanh(x))^{-1}}=\bruch{1}{x^2-1}[/mm]
>  die Sache ist, das da laut Lösung eigentlich
> [mm]\bruch{1}{1-x^2}[/mm] rauskommen sollte. Der Fehler liegt wohl
> bei der Anwendung der Quotientenregel, denn in der Lösung
> wurde folgedens erhalten:
>  [mm]tanh'(x)=\bruch{sinh}{cosh}=\bruch{-sin sinh-cosh cosh}{cosh^2}=\bruch{cosh^2}{cosh^2}-\bruch{sinh^2}{cosh^2}=1-tanh^2[/mm]

Wo kommt das "-" im 2. Bruch vor dem cosh   her ?


FRED

>  
> jetzt weiß ich nicht wieso die quotientenregel so
> umgewurschtelt wurde...kann mir jemand helfen?
>  Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>  


Bezug
                
Bezug
Ableitung von arctanh: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:06 Do 17.02.2011
Autor: frank85

Oh man, wie dämlich ich bin....hab echt nicht gesehen das der Nenner cosh zu cosh² wird, und nicht zur Ableitung,also sinh. Wie ich Mathe mag....^^
Danke Fred! Werde jetzt weitermachen,Klausur ist Samstag schon :(

Bezug
                        
Bezug
Ableitung von arctanh: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:10 Do 17.02.2011
Autor: fred97


> Oh man, wie dämlich ich bin....hab echt nicht gesehen das
> der Nenner cosh zu cosh² wird, und nicht zur
> Ableitung,also sinh. Wie ich Mathe mag....^^
>  Danke Fred! Werde jetzt weitermachen,Klausur ist Samstag

Viel Glück

FRED

> schon :(


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