Ableitung von cos(x) < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:01 So 25.04.2010 | | Autor: | dana1986 |
Hi ihr Lieben,
also ich soll beweisen, dass die Ableitung von cos(x) = -sin(x) ist.
Dazu soll ich die Regel anwenden.
Ich darf nur verwenden, dass gilt:
[mm] \forall [/mm] x,y [mm] \in \IR [/mm] : cos(x) - cos(y) = -2 [mm] \* sin(\bruch{x+y}{2} [/mm] ) [mm] \* sin(\bruch{x-y}{2})
[/mm]
und
f'(a) := [mm] \limes_{h\rightarrow\0} \bruch{f(a+h) - f(a)}{h}
[/mm]
Wie mach ich das am besten? Ich steh total auf dem Schlauch.
Hab zwar von einer anderen Matheseite nen Beweis gesehen, aber da versteh ich die Beweisführung nicht.
Ich weiß nicht, wie man das Theorem auf diese Funktion anwenden kann. Also normalerweise ersetzt man ja das x durch a+h oder sonstwas, aber hier hab ich ja auch noch y was passiert damit?
GLG Dana
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Hallo!
> Hi ihr Lieben,
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> also ich soll beweisen, dass die Ableitung von cos(x) =
> -sin(x) ist.
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> Dazu soll ich die Regel anwenden.
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> Ich darf nur verwenden, dass gilt:
>
> [mm]\forall[/mm] x,y [mm]\in \IR[/mm] : cos(x) - cos(y) = -2 [mm]\* sin(\bruch{x+y}{2}[/mm]
> ) [mm]\* sin(\bruch{x-y}{2})[/mm]
>
> und
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> f'(a) := [mm]\limes_{h\rightarrow\0} \bruch{f(a+h) - f(a)}{h}[/mm]
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> Wie mach ich das am besten? Ich steh total auf dem
> Schlauch.
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> Hab zwar von einer anderen Matheseite nen Beweis gesehen,
> aber da versteh ich die Beweisführung nicht.
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> Ich weiß nicht, wie man das Theorem auf diese Funktion
> anwenden kann. Also normalerweise ersetzt man ja das x
> durch a+h oder sonstwas, aber hier hab ich ja auch noch y
> was passiert damit?
Du hast kein y. Das oben ist doch nur eine Formel, die du anwenden kannst; sie sagt:
Wenn du zwei verschiedene Werte x und y hast und dann eben die Differenz [mm] \cos(x)-\cos(y), [/mm] dann kannst du das auch so schreiben wie oben.
Gehe folgendermaßen vor:
$f'(a) = [mm] \limes_{h\rightarrow\0} \bruch{f(a+h) - f(a)}{h}$
[/mm]
$= [mm] \limes_{h\rightarrow\0}\frac{\cos(a+h)-\cos(a)}{h}$
[/mm]
Nun hast du solch eine Differenz! Wir können die Formel anwenden!
Es gilt nun für die Anwendung der Formel: x = a+h, y = a.
$= [mm] \limes_{h\rightarrow\0}\frac{-2*\sin\left(\bruch{(a+h)+a}{2}\right)*\sin\left(\bruch{(a+h)-a}{2}\right)}{h}$
[/mm]
$= [mm] \limes_{h\rightarrow\0}\frac{-2*\sin\left(a+\bruch{h}{2}\right)*\sin\left(\bruch{h}{2}\right)}{h}$
[/mm]
Nun schreiben wir das ein klein wenig um:
$= [mm] \limes_{h\rightarrow\0}-\sin\left(a+\bruch{h}{2}\right)*\frac{\sin\left(\bruch{h}{2}\right)}{\frac{h}{2}}$.
[/mm]
Der erste Faktor konvergiert gegen [mm] -\sin(a) [/mm] für [mm] $h\to [/mm] 0$. Ist dir das klar? (Die mathematisch Legitimation dafür ist, dass der Sinus stetig ist).
Wir müssen also nur noch zeigen, dass der zweite Faktor gegen 1 geht.
Dafür benötigst du noch folgende Regel:
[mm] $\lim_{x\to 0}\frac{\sin(x)}{x} [/mm] = 1$
Habt ihr die schonmal gehabt? 
Grüße,
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:29 So 25.04.2010 | | Autor: | dana1986 |
ja die Regel unten hatten wir schon.
Vielen Dank, dadurch ist mir alles klar geworden, ich war sehr wegen dem y verwirrt, aber wenn du sagst, dass das nur allgemein gilt, bin ich sehr beruhigt.
glg
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