Ableitung von ln(x)^x < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:14 Mo 05.01.2009 | | Autor: | jonny12 |
| Aufgabe | | Differenzieren Sie: [mm] ln(x)^x [/mm] |
Hallo :)
Ich habe da mal wieder eine Verständnisfrage:
Könnt ihr mir sagen wie das abgeleitet wird? Welche Regel gilt denn hier? Ich muss ehrlich gestehen, ich habe habe gar keine Idee, nicht mal einen Ansatz.
Danke an Alle für die Hilfe.
Gruß Jonny
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Hallo jonny!
Eine Möglichkeit ergibt sich hier indem du vor dem Differenzieren logarithmierst und dann sowohl mit der Kettenregel, als auch Produktregel differenzierst.
[mm]ln(f(x))=x*ln(ln(x))[/mm]
Zum Schluss musst du dein Erbniss jedoch in die Potenz von e setzen um wieder auf die Ausgansfunktion zu kommen.
Gruß
Angelika
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:34 Mo 05.01.2009 | | Autor: | jonny12 |
Ok, ich hoffe ich darf ehrlich sein!
Ich verstehe irgendwie nur Bahnhof, daher auch keine spezifische Frage. Könnten/Könntest Sie/Du mir das evtl. noch einmal genauer erklären?
- Wie haben wir das hoch x wegbekommen?
- warum auf beiden Seiten ln?
... =(
Gruß Jonny
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Hallo Jonny,
Hier im Forum dutzen wir uns gegenseitig, ist viel angnehmer 
Also du mußt ja [mm] \\(ln(x))^{x} [/mm] differenzieren.
Setzte zunächst [mm] \\ln(x)=a [/mm] dann hast du [mm] \\a^{x} [/mm] zu differenzieren. Nun musst du ja das [mm] \\a^{x} [/mm] irgendwie umformen und zwar zu [mm] \\e^{x\cdot\\ln(a)}. [/mm] Nun ersetzten wir wieder unser [mm] \\a [/mm] durch [mm] \\ln(x). [/mm] Bleibt also [mm] \\e^{x\cdot\\ln(ln(x))} [/mm] zu differenzieren. Dies bekommst du wie Angelika schon angemerkt hat mit der Kettenregel und der Produktregel in den Griff.
Ok?
![[hut]](/images/smileys/hut.gif "[hut]") Gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:17 Mo 05.01.2009 | | Autor: | jonny12 |
Danke für die schnelle Hilfe.. :)
> Setzte zunächst [mm]\\ln(x)=a[/mm] dann hast du [mm]\\a^{x}[/mm] zu
> differenzieren. Nun musst du ja das [mm]\\a^{x}[/mm] irgendwie
> umformen und zwar zu [mm]\\e^{x\cdot\\ln(a)}.[/mm]
Ich dachte die Ableitung von [mm] a^x [/mm] = [mm] ln(a)*a^x
[/mm]
Weil da hätte ich ja dann -> [mm] ln(ln(x))*ln(x)^x
[/mm]
Wisst ihr was ich hier nicht beachtet habe?
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Hallo!
Das Problem bei der Substitution $a = [mm] \ln(x)$ [/mm] ist, dass du im Folgenden davon ausgehst dass a konstant ist, was nicht stimmt (a ist ja [mm] \ln(x) [/mm] und damit eine von x, der "dynamischen Variable", abhängige Funktion)
Das war nur als Hilfestellung gedacht, um zu verdeutlichen dass du es hier mit der Kettenregel zu tun hast (erst "hoch x" auswerten, dann innere Funktion).
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Ich greife die Idee von oben auf:
Kern ist die folgende Umformung:
$f(x) = [mm] e^{\ln(f(x))}$
[/mm]
Das gilt, weil [mm] $e^{(...)}$ [/mm] gerade die Umkehrfunktion von [mm] $\ln(x)$ [/mm] ist. Zusätzlich sollte dir bekannt sein, dass
[mm] $\left(e^{x}\right)' [/mm] = [mm] e^{x}$.
[/mm]
Nun setzt du deine Funktion $f(x) = [mm] \ln(x)^{x}$ [/mm] mal oben ein:
$f(x) = [mm] \ln(x)^{x} [/mm] = [mm] e^{\ln\left(\ln(x)^{x}\right)}$
[/mm]
Sicher ist dir das Logarithmus-Gesetz [mm] $\ln(a^{b}) [/mm] = [mm] b*\ln(a)$ [/mm] bekannt:
$f(x) = [mm] \ln(x)^{x} [/mm] = [mm] e^{\ln\left(\ln(x)^{x}\right)} [/mm] = [mm] e^{x*\ln(\ln(x))}$
[/mm]
Und nun hast du deine Funktion so günstig umgeformt, dass du leicht ableiten kannst:
Zur Anwendung kommt die Kettenregel. Äußere Funktion ist [mm] $e^{(...)}$, [/mm] innere Funktion ist [mm] $x*\ln(\ln(x))$:
[/mm]
$f'(x) = [mm] \left( e^{x*\ln(\ln(x))}\right)' [/mm] = [mm] e^{x*\ln(\ln(x))}*\Big(x*\ln(\ln(x))\Big)'$
[/mm]
D.h. es gilt nun noch den rechten Faktor "fertig abzuleiten"
Der linke ist ja gerade deine Ausgangsfunktion $f(x) = [mm] \ln(x)^{x}$, [/mm] beim Ableiten ist mit der nichts passiert
-->
$f'(x) = [mm] \left( e^{x*\ln(\ln(x))}\right)' [/mm] = [mm] e^{x*\ln(\ln(x))}*\Big(x*\ln(\ln(x))\Big)' [/mm] = [mm] \ln(x)^{x}*\Big(x*\ln(\ln(x))\Big)' [/mm] $
Versuchs fertig zu machen!
Stefan.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:55 Mo 05.01.2009 | | Autor: | jonny12 |
Sehr ausführlich erklärt, Danke Dir!
Also ich habe dann den restliche Teil mit der Produktregel wie folgt ausgerechnet..
[mm] ln(x)^x*(x*ln(ln(x))) [/mm] = [mm] ln(x)^x*1*ln(ln(x))+\bruch{x}{ln(x)}
[/mm]
muss ich eigentlich das ln(ln(x)) auch einzeln beachten, quasi Kettenregel und dann Produktregel?
Und noch eine andere Frage.. ich habe mich an die Aufgabe g(x)=sinh(ln(x)) heran getastet und dachte es reicht wenn ich das mit der Kettenregel mache, d.h. [mm] cosh(u)*\bruch{1}{x} [/mm] = [mm] \bruch{cosh(lnx)}{x} [/mm] .. aber irgendwie steht in der Lösung was anderes.. ? Könnt ihr was dazu auf die schnelle sagen?
Gruß euer Jonny12
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Hallo jonny12,
> Sehr ausführlich erklärt, Danke Dir!
>
> Also ich habe dann den restliche Teil mit der Produktregel
> wie folgt ausgerechnet..
>
> [mm]ln(x)^x*(x*ln(ln(x)))[/mm] =
> [mm]ln(x)^x*1*ln(ln(x))+\bruch{x}{ln(x)}[/mm]
Korrekt muss es heißen:
[mm]ln(x)^x*\left\red{(} \ 1*ln(ln(x))+\bruch{x}{ln(x)} \ \red{\left(\ln\left(x\right)\right)'} \ \right\red{)}[/mm]
>
> muss ich eigentlich das ln(ln(x)) auch einzeln beachten,
> quasi Kettenregel und dann Produktregel?
>
> Und noch eine andere Frage.. ich habe mich an die Aufgabe
> g(x)=sinh(ln(x)) heran getastet und dachte es reicht wenn
> ich das mit der Kettenregel mache, d.h.
> [mm]cosh(u)*\bruch{1}{x}[/mm] = [mm]\bruch{cosh(lnx)}{x}[/mm] .. aber
> irgendwie steht in der Lösung was anderes.. ? Könnt ihr was
> dazu auf dite schnelle sagen?
Ich nehme an in der Lösung wurde das so geformt:
[mm]\bruch{\cosh\left(\ \ln\left(x\right) \ \right)}{x}=\bruch{e^{\ln\left(x\right)}+e^{-\ln\left(x\right)}}{2x}=\bruch{x+\bruch{1}{x}}{x}=1+\bruch
{1}{x^{2}}[/mm]
>
> Gruß euer Jonny12
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:36 Mo 05.01.2009 | | Autor: | jonny12 |
> Ich nehme an in der Lösung wurde das so geformt:
>
> [mm]\bruch{\cosh\left(\ \ln\left(x\right) \ \right)}{x}=\bruch{e^{\ln\left(x\right)}+e^{-\ln\left(x\right)}}{2x}=\bruch{x+\bruch{1}{x}}{x}=1+\bruch
{1}{x^{2}}[/mm]
>
> Gruß
> MathePower
Genau! Wie soll man denn bitte darauf kommen? ;)
Wenn ich es in der Klausur dabei [mm] \bruch{\cosh\left(\ \ln\left(x\right) \ \right)}{x} [/mm] belassen würde, dann reicht das doch normalerweise oder?
Gruß Jonny12
P.S.: Danke für die Geduld/Hilfe :)
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Hallo jonny12,
> > Ich nehme an in der Lösung wurde das so geformt:
> >
> > [mm]\bruch{\cosh\left(\ \ln\left(x\right) \ \right)}{x}=\bruch{e^{\ln\left(x\right)}+e^{-\ln\left(x\right)}}{2x}=\bruch{x+\bruch{1}{x}}{x}=1+\bruch
{1}{x^{2}}[/mm]
>
> >
> > Gruß
> > MathePower
>
> Genau! Wie soll man denn bitte darauf kommen? ;)
> Wenn ich es in der Klausur dabei [mm]\bruch{\cosh\left(\ \ln\left(x\right) \ \right)}{x}[/mm]
> belassen würde, dann reicht das doch normalerweise oder?
Wenn bei der Aufgabe nicht so was wie
"Vereinfachen Sie, soweit wie möglich" dabei steht, dann reicht das.
Zum Weiterrechnen empfiehlt sich aber die Vereinfachung.
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> Gruß Jonny12
>
> P.S.: Danke für die Geduld/Hilfe :)
>
Gruß
MathePower
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