matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenDifferenzialrechnungAbleitung x hoch x hoch 2
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Deutsch • Englisch • Französisch • Latein • Spanisch • Russisch • Griechisch
Forum "Differenzialrechnung" - Ableitung x hoch x hoch 2
Ableitung x hoch x hoch 2 < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Differenzialrechnung"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Ableitung x hoch x hoch 2: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:01 Do 14.05.2020
Autor: hase-hh

Aufgabe
Bilde die Ableitung

f(x) = [mm] x^{x^2} [/mm]

Moin Moin,

ich würde diese Funktion nach der Kettenregel ableiten. Dies scheint aber nicht korrekt zu sein!???

Also mein Ansatz:

i = [mm] x^2 [/mm]   i ' = 2x

a(i) = [mm] x^i [/mm]  

a' (i) = [mm] i*x^{i-1} [/mm]

a' (i) = [mm] x^2*x^{x^2 -1} [/mm]

Das könnte ich zusammenfassen...

a' (i) = [mm] x^{x^2+1} [/mm]


f ' (x) = [mm] 2x*x^{x^2+1} [/mm]





???



        
Bezug
Ableitung x hoch x hoch 2: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:38 Do 14.05.2020
Autor: Fulla

Hallo hase-hh,

so funktioniert das leider nicht...
Da die Variable, nach der abzuleiten ist, sowohl in der Basis als auch im Exponenten vorkommt, kannst du nicht einfach "nur" die Ableitungsregel für Polynome verwenden.

Benutze zunächst die Umformung: [mm]a^b=e^{b* \ln a}[/mm].
Angewandt auf diese Funktion (mit [mm]a=x[/mm] und [mm]b=x^2[/mm]) ergibt das: [mm]f(x)=e^{x^2*\ln x}[/mm]

Das kannst du mit den "gewöhnlichen" Regeln ableiten und einen Teil wieder zurück umformen ([mm]x^{x^2}[/mm] wird Teil der Ableitung sein).

Lieben Gruß
Fulla

Bezug
        
Bezug
Ableitung x hoch x hoch 2: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:14 Do 14.05.2020
Autor: hase-hh

Aha! Vielen Dank!


Es gilt:

[mm] a^b [/mm] = [mm] e^{b*ln(a)} [/mm]


f(x) = [mm] x^{x^2} [/mm]   <=>  f(x) = [mm] e^{x^2*ln(x)} [/mm]


Ansatz Kettenregel:

i = [mm] x^2*ln(x) [/mm]

i ' = [mm] 2x*ln(x)+x^2*\bruch{1}{x} [/mm]

i ' = 2x*ln(x)+x


a = [mm] e^i [/mm]

a ' = [mm] e^i [/mm]

a ' = [mm] e^{x^2*ln(x)} [/mm]


f ' (x) = [mm] (2x*ln(x)+x)*e^{x^2*ln(x)} [/mm]

umschreiben...

mithilfe von   [mm] e^{b*ln(a)} [/mm] = [mm] a^b [/mm]


f ' (x) = [mm] (2x*ln(x)+x)*x^{x^2} [/mm]


f' (x) = [mm] 2*ln(x)*x^{x^2+1} [/mm] + [mm] x^{x^2+1} [/mm]


richtig?

Bezug
                
Bezug
Ableitung x hoch x hoch 2: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:50 Do 14.05.2020
Autor: Fulla


> Aha! Vielen Dank!

>
>

> Es gilt:

>

> [mm]a^b[/mm] = [mm]e^{b*ln(a)}[/mm]

>
>

> f(x) = [mm]x^{x^2}[/mm] <=> f(x) = [mm]e^{x^2*ln(x)}[/mm]

>
>

> Ansatz Kettenregel:

>

> i = [mm]x^2*ln(x)[/mm]

>

> i ' = [mm]2x*ln(x)+x^2*\bruch{1}{x}[/mm]

>

> i ' = 2x*ln(x)+x

>
>

> a = [mm]e^i[/mm]

>

> a ' = [mm]e^i[/mm]

>

> a ' = [mm]e^{x^2*ln(x)}[/mm]

>
>

> f ' (x) = [mm](2x*ln(x)+x)*e^{x^2*ln(x)}[/mm]

>

> umschreiben...

>

> mithilfe von [mm]e^{b*ln(a)}[/mm] = [mm]a^b[/mm]

>
>

> f ' (x) = [mm](2x*ln(x)+x)*x^{x^2}[/mm]

>
>

> f' (x) = [mm]2*ln(x)*x^{x^2+1}[/mm] + [mm]x^{x^2+1}[/mm]

>
>

> richtig?

Ja, den letzten Schritt würde ich aber sein lassen. Der "fiese" bzw. komplizierte Term ist hier ja das [mm] $x^{x^2}$, [/mm] da würde ich nicht ausmultiplizieren. Und das Zusammenfassen mit dem Faktor $x$ ist zwar nicht falsch, aber oft ist es praktisch, wenn in der Ableitung die exakte ursprüngliche Funktion wieder vorkommt. Stell dir vor, du wolltest nochmal ableiten, dann kannst du bereits Bekanntes wieder anwenden, ohne den Umweg über die natürliche Exponentialfunktion zu nehmen.

Es kommt natürlich darauf an, was du vorhast, aber ich würde [mm] $f^\prime(x)=(2x\ln x+x)*x^{x^2}$ [/mm] so stehen lassen.

Lieben Gruß
Fulla

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Differenzialrechnung"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]