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| Aufgabe | Bilden sie die Ableitungen dy/dx der Funktionen
a)[mm]y=(ln f(x))^{x}[/mm]
b)[mm]y= \integral x^{n} dx[/mm]
c)[mm]y=sinx^{cosx}[/mm]
Bilden sie die Ableitungen der Funktionen
d)[mm]y=(sinx)^{y}[/mm]
e)[mm]y= \integral_{1}^{sinx} {g(t) dt}[/mm] |
Zu a):
[mm]lny=x*(ln(ln f(x)))=>\bruch{y'}{y}=1*(ln(lnf(x)))+x* \bruch{1}{lnf(x)}* \bruch{1}{f(x)}*f'(x)=>y'=ln*lnf(x)+ \bruch{x*f'(x)}{lnf(x)*f(x)}*lnf(x)^{x}[/mm]
Zu b)
[mm]=[ \bruch{1}{n}*x^{n-1}][/mm]
[mm]y'=x^{n}[/mm]
Kann nicht richtig sein, weil zu komisch?!
Zu c)
[mm]lny=cosx*ln(sinx)=> \bruch{y'}{y}=cosx* \bruch{1}{sinx}+(-sinx)*ln(sinx)=>y'= \bruch{cosx}{sinx}+(-sinx)*ln(sinx)*sinx^{cosx}[/mm]
Zu d)
Implizite Funktion abeiten in den man das y rüberholt und die Formel dy/dx=- (term) einsetzt.
[mm]0=(sinx)^{y}-y[/mm]
[mm] \bruch{dy}{dx}=- \bruch{-}{-}[/mm]
Wie leitet man jetz nach x bzw y ab. Man muss doch logomithrieren um das y runterzubekommen oder? [mm] y*(sinx)^{y-1} [/mm] darf man da nicht machen?
Zu e)
Weiß ich den Ansatz nicht, bzw, ich weiss nicht genau was integrieren muss.
Und zu Letzt noch eine theoretische elemtare Frage. Wo ist der Unterschieden zwischen" Bilden sie Ableitungen der Funktionen" und "Bilden sie Ableitungen dy/dx der Funktionen"
Danke für jede Hilfe :)
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Hallo aLex.chill,
> Bilden sie die Ableitungen dy/dx der Funktionen
>
> a)[mm]y=(ln f(x))^{x}[/mm]
> b)[mm]y= \integral x^{n} dx[/mm]
>
> c)[mm]y=sinx^{cosx}[/mm]
>
> Bilden sie die Ableitungen der Funktionen
>
> d)[mm]y=(sinx)^{y}[/mm]
> e)[mm]y= \integral_{1}^{sinx} {g(t) dt}[/mm]
> Zu a):
>
> [mm]lny=x*(ln(ln f(x)))=>\bruch{y'}{y}=1*(ln(lnf(x)))+x* \bruch{1}{lnf(x)}* \bruch{1}{f(x)}*f'(x)=>y'=ln*lnf(x)+ \bruch{x*f'(x)}{lnf(x)*f(x)}*lnf(x)^{x}[/mm]
Da hast Du wohl was verwechselt
Richtig muss das heißen:
[mm]y'\; = \;\left( {\ln \left( {\ln \;f(x)} \right)\; + \;x\;\frac{1}
{{\ln \;f(x)}}\;\frac{{f'(x)}}
{{f(x)}}} \right)\;\left( {\ln \;f(x)} \right)^x [/mm]
>
> Zu b)
> [mm]=[ \bruch{1}{n}*x^{n-1}][/mm]
> [mm]y'=x^{n}[/mm]
> Kann nicht richtig sein, weil zu komisch?!
Ist aber so.
>
> Zu c)
> [mm]lny=cosx*ln(sinx)=> \bruch{y'}{y}=cosx* \bruch{1 }{sinx}+(-sinx)*ln(sinx)=>y'= \bruch{cosx}{sinx}+(-sinx)*ln(sinx)*sinx^{cosx}[/mm]
Stimmt nicht ganz.
>
> Zu d)
> Implizite Funktion abeiten in den man das y rüberholt und
> die Formel dy/dx=- (term) einsetzt.
> [mm]0=(sinx)^{y}-y[/mm]
> [mm]\bruch{dy}{dx}=- \bruch{-}{-}[/mm]
> Wie leitet man jetz nach x
> bzw y ab. Man muss doch logomithrieren um das y
> runterzubekommen oder? [mm]y*(sinx)^{y-1}[/mm] darf man da nicht
> machen?
Bringe die Gleichung zunächst mal auf die Gestalt [mm]F\left( {x,\;y} \right)\; = \;0[/mm]. Da y eine Funktion von x ist, schreibt sich F so:
[mm]F\left( {x,\;y(x)} \right)\; = \;0[/mm]
Dies kannst Du jetzt mit der Kettenregel nach x ableiten:
[mm]F_x \; + \;F_y \;y'\; = \;0[/mm]
Hieraus bekommst Du das y'.
>
> Und zu Letzt noch eine theoretische elemtare Frage. Wo ist
> der Unterschieden zwischen" Bilden sie Ableitungen der
> Funktionen" und "Bilden sie Ableitungen dy/dx der
> Funktionen"
Keiner, denn
[mm]y'\; = \;\frac{{dy}}{{dx}}[/mm]
Gruß
MathePower
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Vielen Dank für die bisherigen hilfreichen Antworten.
Zu C) Verbessert:
[mm]lny=cosx*ln(sinx)=cosx* \bruch{1}{sinx}*cosx+(-sinx)*ln(sinx)= \bruch{(cosx)^{2}}{sinx}+(-sinx)*ln(sinx)*(sinx^{cosx})[/mm]
Zu E:)
[mm]\integral_{1}^{\sin(x)}{g(t) \ dt} \ = \ \left[ \ G(t) \ \right]_{1}^{\sin(x)} \ = \ G[\sin(x)] - G(1)=> y'=G(sinx)*cosx[/mm]
Zu D)
Bin ich grad verunsichert weil die Lösung bekommen haben und die sieht so aus:
[mm]=- \bruch{y*(sinx)^{y-1}*cosx}{(sinx)^{y}*ln(sinx)-1}[/mm]
!?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:16 Fr 30.12.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Alex!
> Zu C) Verbessert:
>
> [mm]lny=cosx*ln(sinx)=cosx* \bruch{1}{sinx}*cosx+(-sinx)*ln(sinx)= \bruch{(cosx)^{2}}{sinx}+(-sinx)*ln(sinx)*(sinx^{cosx})[/mm]
Nein, hier meinte ich andere Klammern (die innere Ableitung ist jetzt richtig):
[mm]y'=\red{\left[}\bruch{(cosx)^{2}}{sinx}+(-sinx)*ln(sinx)\red{\right]}*(sinx^{cosx})[/mm]
> Zu E:)
> [mm]\integral_{1}^{\sin(x)}{g(t) \ dt} \ = \ \left[ \ G(t) \ \right]_{1}^{\sin(x)} \ = \ G[\sin(x)] - G(1)=> y'=G(sinx)*cosx[/mm]
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Was ist mit der Ableitung von [mm] $G[\sin(x)]$. [/mm] Da muss doch auch wieder [mm] $G'[\sin(x)] [/mm] \ = \ [mm] g[\sin(x)]$ [/mm] herauskommen.
> Zu D)
> Bin ich grad verunsichert weil die Lösung bekommen haben
> und die sieht so aus:
> [mm]=- \bruch{y*(sinx)^{y-1}*cosx}{(sinx)^{y}*ln(sinx)-1}[/mm]
Das sieht mir sehr wüst aus. Wie kommst du denn auf den Exponenten [mm] $(...)^{y-1}$ [/mm] ? Diesen hatten wir doch im Vorfeld durch das Logarithmieren entfernt.
Gruß
Loddar
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[mm]\integral_{1}^{\sin(x)}{g(t) \ dt} \ = \ \left[ \ G(t) \ \right]_{1}^{\sin(x)} \ = \ G[\sin(x)] - G(1)=> y'=g(sinx)-g(1)[/mm]
Meintest du es so?
[mm]=- \bruch{y\cdot{}(sinx)^{y-1}\cdot{}cosx}{(sinx)^{y}\cdot{}ln(sinx)-1}[/mm]
Das ist die Lösung von einem "Musterblatt", jedoch komm ich mit der nicht zu recht, bzw ich kann sie nicht ganz nachvollziehen.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:56 Fr 30.12.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Alex!
> [mm]\integral_{1}^{\sin(x)}{g(t) \ dt} \ = \ \left[ \ G(t) \ \right]_{1}^{\sin(x)} \ = \ G[\sin(x)] - G(1)=> y'=g(sinx)-g(1)[/mm]
Jetzt hast du wieder die innere Ableitung unterschlagen:
$y' \ = \ [mm] G'[\sin(x)]*\cos(x) [/mm] - 0 \ =\ [mm] g[\sin(x)]*\cos(x)$
[/mm]
Der Term $G(1)_$ entfällt ja, da es sich um einen konstanten Summanden handelt.
> [mm]=- \bruch{y\cdot{}(sinx)^{y-1}\cdot{}cosx}{(sinx)^{y}\cdot{}ln(sinx)-1}[/mm]Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
>
> Das ist die Lösung von einem "Musterblatt", jedoch komm ich
> mit der nicht zu recht, bzw ich kann sie nicht ganz
> nachvollziehen.
Hhmm, auch ich kann dieser Lösung nicht ganz folgen ...
Ich würde nach dem Logarithmieren auf beiden Seiten ableiten:
$\bruch{\ln(y)}{y} \ = \ \ln[\sin(x)]$
$\Rightarrow$
$\bruch{\bruch{y'}{y}*y-\ln(y)*y'}{y^2} \ = \ \bruch{1}{\sin(x)}*\cos(x)}$
$\bruch{y'-\ln(y)*y'}{y^2} \ = \ \bruch{\cos(x)}{\sin(x)}$
$\bruch{y'*\left[1-\ln(y)\right]}{y^2} \ = \ \bruch{\cos(x)}{\sin(x)}$
$y' \ = \ \bruch{\cos(x)*y^2}{\sin(x)*\left[1-\ln(y)\right]}$
Jetzt wieder einsetzen:
$y' \ = \ \bruch{\cos(x)*\left[\sin^y(x)]^2}{\sin(x)*\left[1-y*\ln(\sin(x))\right]}$
$y' \ = \ \bruch{\cos(x)*\sin^{2y-1}(x)}{1-y*\ln(\sin(x))}$
Das wäre nun meine Lösung (wenn ich nicht total daneben liege ...).
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:09 Fr 30.12.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Beide Lösungen bei d) sind richtig, die von Loddar und die vorgegebene. Man kann sie ineinander überführen...
Liebe Grüße
Stefan
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:43 Fr 30.12.2005 | | Autor: | aLeX.chill |
OK vielen Dank Leute !
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Potenzregel