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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:10 So 25.03.2007 | | Autor: | JR87 |
| Aufgabe | | [mm] f(x)=(e^{x}-a)² [/mm] |
Hallo,
ich muss zu der oben angegebenen Funktion eine Kurvendiskussion machen... Da ich die letzten Tage nicht in der Schule war habe ich einiges verpasst und muss das auch nachholen. Kurvendiskussion stell ich mir ja so vor wie immer. Extrema, Wendepunkt etc. So das ganze geht ja erstmal mit den Ableitungen los, und da hab ich schon einige Probleme.
[mm] f(x)=(e^{x}-a)²
[/mm]
[mm] f'(x)=2(e^{x}-a)
[/mm]
f''(x) ??
f'''(x) ??
Also ich weiß nicht einmal ob meine erste Ableitung richtig ist und komme da auch bei den weiteren beiden nicht weiter. Ich hoffe ihr könnt mir helfen
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> [mm]f(x)=(e^{x}-a)²[/mm]
> Hallo,
> ich muss zu der oben angegebenen Funktion eine
> Kurvendiskussion machen... Da ich die letzten Tage nicht in
> der Schule war habe ich einiges verpasst und muss das auch
> nachholen. Kurvendiskussion stell ich mir ja so vor wie
> immer. Extrema, Wendepunkt etc. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") So das ganze geht ja
> erstmal mit den Ableitungen los, und da hab ich schon
> einige Probleme.
>
> [mm]f(x)=(e^{x}-a)²[/mm]
> [mm]f'(x)=2(e^{x}-a)[/mm] ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
> f''(x) ??
> f'''(x) ??
>
> Also ich weiß nicht einmal ob meine erste Ableitung richtig
> ist und komme da auch bei den weiteren beiden nicht weiter.
> Ich hoffe ihr könnt mir helfen
Hallo JR87,
die erste Ableitung ist richtig,
[mm] f'(x)=2(e^x-a)=2e^x-2a
[/mm]
[mm] \Rightarrow f''(x)=2e^x-0=2e^x [/mm] [die 2 als mulitplikative Konstante bleibt stehen, Ableitung von [mm] e^x [/mm] ist [mm] e^x, [/mm] die 2a als additive Konstante fällt weg]
f'''(x) kriegste hin
Dann nach Schema weiter und das Extremum/die Extrema bestimmen.
Gruß
schachuzipus
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(Korrektur) fundamentaler Fehler  | | Datum: | 12:21 So 25.03.2007 | | Autor: | Loddar |
Guten Morgen schachuzipus!
Was ist denn mit der inneren Ableitung gemäß  Kettenregel?
Gruß
Loddar
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:24 So 25.03.2007 | | Autor: | Loddar |
Guten Morgen JR87!
Leider stimmt auch schon die 1. Ableitung nicht, da Du die innere Ableitung gemäß Kettenregel vergessen hast.
Du musst ja noch mit der Ableitung des Klammerninhaltes multiplizieren:
[mm] $f_a'(x) [/mm] \ = \ [mm] 2*\left(e^x-a\right)^1*\red{e^x} [/mm] \ = \ [mm] 2*\left(e^x-a\right)*e^x [/mm] \ = \ [mm] 2*e^{2x}-2a*e^x$
[/mm]
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:36 So 25.03.2007 | | Autor: | JR87 |
Is es hier auch möglich [mm] e^{x} [/mm] auszuklammern?
Also dann [mm] f'(x)=e^{x}(e^{x}-2a)
[/mm]
für f''(x) hätt ich in diesem Fall dann [mm] e^{x}^{2}(-2a-1) [/mm] heraus. Stimmt das?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:51 So 25.03.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo JR87!
Natürlich darfst Du bei der 1. Ableitung auch ausklammern (den Faktor $2_$ nicht vergessen!):
[mm] $f_a'(x) [/mm] \ = \ [mm] 2e^x*\left(e^x-a\right) [/mm] \ = \ [mm] e^x*\left(2e^x-2a\right)$
[/mm]
Allerdings musst Du dann hier auch die Produktregel anwenden:
[mm] $f_a''(x) [/mm] \ = \ [mm] 2e^x*\left(e^x-a\right)+2e^x*e^x [/mm] \ = \ ...$
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:17 So 25.03.2007 | | Autor: | JR87 |
Also die Produktregel besagt doch uv'-u'v
Das wäre dann [mm] f''(x)=(e^{x}*(2e^{x}-2a)-(e^{x}*2e^{x})
[/mm]
= [mm] 3e^{x}-2ae^{x}-3e^{x}??
[/mm]
Richtig so? Immer Endeffekt würde ich doch dann auf f''(x) = -2a kommen
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:20 So 25.03.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo JR87!
Deine Formel für die Produktregel ist falsch!!
Diese lautet: [mm] $\left(u*v\right)' [/mm] \ = \ u'*v \ [mm] \red{+} [/mm] \ u*v'$
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:27 So 25.03.2007 | | Autor: | JR87 |
So jetzt versteh ich nix mehr. Ich Hab doch dann
[mm] f''(x)=(e^{x}*(2e^{x}-2a))+(e^{x}*2e^{x})
[/mm]
Was kann ich denn an der ganzen Sache zusammenfassen
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:58 So 25.03.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo JR87!
Entweder Du klammerst [mm] $e^x$ [/mm] aus. Oder Du multiplizierst die Klammern aus unter Beachtung der Potenzgesetze:
[mm] $a^m*a^n [/mm] \ = \ [mm] a^{m+n}$ [/mm] bzw. [mm] $e^x*e^x [/mm] \ = \ [mm] e^{x+x} [/mm] \ = \ [mm] e^{2x}$
[/mm]
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:19 So 25.03.2007 | | Autor: | JR87 |
Sorry wenn ich nerve.
[mm] f''(x)=4e^{2x}-2ae^{x}
[/mm]
Ist das dann richtig
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:21 So 25.03.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo JR87!
!
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:52 So 25.03.2007 | | Autor: | JR87 |
als 3. Ableitung hätte ich dann f'''(x)= [mm] 8e^{2x}+2ae^{x}
[/mm]
Ist die richtig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:07 So 25.03.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo JR87!
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:09 So 25.03.2007 | | Autor: | JR87 |
sehr gut ich danke dir
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:51 So 25.03.2007 | | Autor: | viktory_hh |
Hi, jetzt hast Du leider die Produkt - Regel vergessen, oder mache doch die ableitung von der oberen Funktion, wo du noch nichts ausgeklammert hast. Bekommt man dasselbe Ergebnis?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:27 So 25.03.2007 | | Autor: | JR87 |
So jetzt hab ich ja die Ableitungen. Bei einer normalen Kurvendiskussion brauche ich ja für Extrema und Wendepunkte die Nullstellen. Bei einer normalen Funktion sollte das kein Problem darstellen, aber bei [mm] e^{x} [/mm] weiß ich nicht wie ich vorgehen soll. Helft mir bitte
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:32 So 25.03.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo JR87!
Bei diesen Aufgaben ist es immer ratsam, auszuklammern und das Prinzip des Nullproduktes anzuwenden. Demnach ist ein Produkt genau dann gleich Null, wenn (mind.) einer der Faktoren gleich Null wird.
Nehmen wir mal die 1. Ableitung:
[mm] $f_a'(x) [/mm] \ = \ [mm] 2e^{2x}-2a*e^x [/mm] \ = \ [mm] 2*e^x*\left(e^x-a\right) [/mm] \ = \ 0$
[mm] $\gdw$ $2*e^x [/mm] \ = \ 0$ oder [mm] $e^x-a [/mm] \ = \ 0$
Kommst Du nun weiter?
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:54 So 25.03.2007 | | Autor: | JR87 |
Sei mir nicht böse, aber irgendwie weiß ich nicht genau was gemeint ist
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:38 So 25.03.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
ganz langsam: ein Produkt ist 0 wenn einer der Faktoren 0 ist.
Du hast [mm] 2e^x*(e^x-a)=0
[/mm]
das ist 0 wenn entweder [mm] e^x=0 [/mm] so ein x gibt es nicht, weil [mm] e^x>0 [/mm] fuer alle x.
oder es ist [mm] e^x-a=0 [/mm] d.h. [mm] e^x=a [/mm] jetzt log anwenden!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:12 So 25.03.2007 | | Autor: | JR87 |
also ich glaube ich stell mich zu doof an. Ich weiss nicht so recht was ich jetzt machen soll. Also ich hab das ja mit der 0 verstanden, aber was muss ich jetzt rechnen um auf die Nullstelle zu kommen
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:16 So 25.03.2007 | | Autor: | Kroni |
Du musst die Gleichung
[mm] e^x=a [/mm] auflösen, um an die Nullstelle zu kommen.
Das machst du, indem du jetzt den natürlichen Logarithmus auf beiden Seiten anwendest (ja, das darf man).
Dann steht da
[mm] ln(e^x)=ln(a)
[/mm]
Den Rest wirst du denke ich selbst auflösen können.
Sláin,
Kroni
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:01 So 25.03.2007 | | Autor: | JR87 |
hab ich das richtig verstanden?
Wenn ich jetzt mein Extrema errechnen möchte dann hab ich ja f'(x) = [mm] e^{x}(2e^{x}-2a
[/mm]
[mm] 2e^{x}= [/mm] 2a | :2
[mm] e^{x} [/mm] = a | ln
x = ln(a)
So das müsste ich doch jetzt in die zweite Ableitung einsetzen.
Ich nehm jetzt einfach mal für a=1
f''(ln(1)) = [mm] e^{0}(2e^{0}-2)
[/mm]
= 0
So nun kann ich doch, da das Ergebnis 0 ist garnicht heraus bekommen ob ich jetzt einen Hoch - oder Tiefpunkt habe
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:13 So 25.03.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo JR87!
Du musst dann aber schin die 2. Ableitung [mm] $f_a'(x) [/mm] \ = \ [mm] 4e^{2x}-2a*e^x [/mm] \ = \ [mm] 2e^x*\left(2e^x-a\right)$ [/mm] verwenden:
[mm] $f_a''(\ln [/mm] a) \ = \ [mm] 2*e^{\ln a}*\left(2*e^{\ln a}-a\right) [/mm] \ = \ 2*a*(2*a-a) \ = \ ...$
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:24 So 25.03.2007 | | Autor: | JR87 |
Ach ich Trottel DANKE
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