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| Aufgabe | Berechnen Sie die 1. und 2. Ableitungen sowie alle lokalen Maximum-, Minimumstellen und Sattelpunkte der folgenden Funktion:
[mm] f(x,y)=2x^{2}-2x+2xy+3y^{2}+4y+5 [/mm] |
Hallo Euch allen
soweit bin ich:
1. Ableitungen
[mm] f_x=4x-2+2y
[/mm]
[mm] f_y=2x+6y+4
[/mm]
2. Ableitungen
[mm] f_x_x=4
[/mm]
[mm] f_x_y=2
[/mm]
[mm] f_y_x=2
[/mm]
[mm] f_y_y=6
[/mm]
kritischer Punkt
0=4x-2+2y
0=2x+6y+4
P(1; -1)
Hessematrix [mm] \pmat{ 4 & 2 \\ 2 & 6 }
[/mm]
det(H)=20
Sind meine Berechnung soweit richtig?
Mein Problem ist jetzt die Definitheit, was bedeutet das und welche Schulßfolgerung ziehe ich bei meinen Ergebnissen hinsichtlich Extrema und Sattelpunkt, Danke für Eure Hinweise
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:46 Mo 09.07.2007 | | Autor: | dormant |
Hi!
> Sind meine Berechnung soweit richtig?
Ja.
> Mein Problem ist jetzt die Definitheit, was bedeutet das
> und welche Schulßfolgerung ziehe ich bei meinen Ergebnissen
> hinsichtlich Extrema und Sattelpunkt, Danke für Eure
> Hinweise
Positiv definit - Minimum.
Negativ definit - Maximum.
Indefinit - Sattelpunkt.
Positiv oder negativ semidefinit - keine Aussage möglich.
Bei deiner H-Matrix sind alle EW größer Null, also ist sie positiv definit, es liegt also ein Minimum vor.
Gruß,
dormant
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Danke für Deine Erklärung, ich denke, jetzt habe ich es, die Eigenwerte meiner Hessematrix lauten [mm] 5\pm\wurzel{5} [/mm] auf jeden Fall sind beide größer Null, somit positiv definit, somit Minimum.
Jetzt möchte ich es noch einmal ganz allgemein formulieren:
1. Fall:
Alle Eigenwerte der Hessematrix größer Null [mm] \Rightarrow [/mm] positiv definit [mm] \Rightarrow [/mm] Minimum
2. Fall:
Alle Eigenwerte der Hessematrix kleiner Null [mm] \Rightarrow [/mm] negativ definit [mm] \Rightarrow [/mm] Maximum
3. Fall:
Es gibt Eigenwerte größer und kleiner Null [mm] \Rightarrow [/mm] indefinit [mm] \Rightarrow [/mm] Sattelpunkt
Kann ich das so sagen? Danke für Eure Hilfe Zwinkerlippe
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:04 Mo 09.07.2007 | | Autor: | dormant |
Hi!
Ja, das kann man schon so sagen.
Gruß,
dormant
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Hallo,
wie Definitheit und Extremwert zusammenhängen, hat Dir dormant ja schon gesagt.
Da ich den Eindruck habe, daß Ihr die Definitheit mit dem Sylvester-Hurwitzkriterium prüft, noch Anmerkungen hierzu, ich beschränke mich auf symmetrische 2x2-Matrizen, da ich meine beobachtet zu haben, daß Ihr Extremwerte von Funktionen, welche von 2 Variablen abhängen, bestimmt.
POSITIV DEFINIT:
Diese Matrix [mm] \pmat{ 4 & 3 \\ 3 & 4 } [/mm] ist positiv definit,
denn ihre Determinante ist >0, und das Element links oben ist >0.
NEGATIV definit:
Diese Matrix [mm] \pmat{ -4 & 3 \\ 3 & -4 } [/mm] ist negativ definit,
denn ihre Determinante ist >0, und das Element links oben ist <0.
INDEFINIT:
Diese Matrix [mm] \pmat{ 3 & 4 \\ 4 & -3 } [/mm] ist indefinit,
denn ihre Determinante ist <0.
SEMIDEFINIT:
Diese Matrix [mm] \pmat{ 1 & 2 \\ 2 & 4} [/mm] ist indefinit,
denn ihre Determinante ist =0.
Gruß v. Angela
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Einen riesen Dank an angela und dormat, ich habe endlich diese Geschichte vollständig kapiert, könnt Ihr nicht bei uns Seminare/Übungen machen? Zwinkerlippe
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