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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:47 Mo 22.06.2009 | | Autor: | ChopSuey |
| Aufgabe | $\ y = [mm] \bruch{x^3+1}{x^2+x+1} [/mm] $
$\ y = [mm] \wurzel{x}\ \sin [/mm] x $ |
Hallo,
bei diesen beiden Funktionen komm ich beim besten Willen nicht auf die richtige Lösung.
Mein Versuch:
$\ y = [mm] \bruch{x^3+1}{x^2+x+1} [/mm] $
$\ y' = [mm] \bruch{3x^2(x^2+x+1)-(x^3+1)(2x+1)}{(x^2+x+1)^2} [/mm] $
$\ y' = [mm] \bruch{3x^4+3x^3+3x^2-2x^4-x^3-2x-1}{(x^2+x+1)^2} [/mm] $
$\ y' = [mm] \bruch{x^4+2x^3+3x^2-2x-1}{(x^2+x+1)^2} [/mm] $
$\ y' = [mm] \bruch{x^4+2x^3+3x^2-2x-1}{(x^2+x+1)(x^2+x+1)} [/mm] $
$\ y' = [mm] \bruch{x^4+2x^3+3x^2-2x-1}{x^4+2x^3+3x^2+2x+1} [/mm] $
hier habe ich keine Ahnung, was es noch zu vereinfachen/ausklammern/zusammenfassen gibt.
Die Lösung aus dem Buch:
$\ y' = 1 - [mm] \bruch{2(2x-1)}{(x^2+x+1)^2} [/mm] $
Zur 2. Funktion:
$\ y = [mm] \wurzel{x}\ \sin [/mm] x $
$\ y = [mm] x^{\bruch{1}{2}}\ \sin [/mm] x $
$\ y' = [mm] \bruch{1}{2}x^{-\bruch{1}{2}}\ \cos [/mm] x $
$\ y' = [mm] \bruch{1}{2}*\bruch{1}{x^{\bruch{1}{2}}}\ \cos [/mm] x $
$\ y' = [mm] \bruch{1}{2}*\bruch{1}{\wurzel{x}}\ \cos [/mm] x $
$\ y' = [mm] \bruch{1}{2\wurzel{x}}\ \cos [/mm] x $
Irgendwo ist auf jeden fall ein Fehler. Die Lösung aus dem Buch lautet:
$\ y' = [mm] \bruch{1}{2\wurzel{x}}\ \sin [/mm] x + [mm] \wurzel{x}\ \cos [/mm] x$
Würde mich freuen, wenn mir jemand meine Fehler zeigen kann.
Viele Grüße,
ChopSuey
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:48 Mo 22.06.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo ChopSuey!
Du musst hier auch die  Produktregel anwenden.
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:50 Mo 22.06.2009 | | Autor: | ChopSuey |
Hallo Loddar,
vielen Dank für die superschnelle Antwort! Du hast natürlich recht, jetzt seh' ich es. Super!
Grüße,
ChopSuey
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:53 Mo 22.06.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo ChopSuey!
Man kann hier noch wie folgt umformen, um auf die gewünschte Darstellung zu kommen:
$$y' \ = \ [mm] \bruch{x^4+2x^3+3x^2-2x-1}{x^4+2x^3+3x^2+2x+1}$$
[/mm]
$$y' \ = \ [mm] \bruch{x^4+2x^3+3x^2-2x \ \red{+4x}-1\blue{+2} \ \red{-4x} \ \blue{-2}}{x^4+2x^3+3x^2+2x+1}$$
[/mm]
$$y' \ = \ [mm] \bruch{x^4+2x^3+3x^2+2x+1-4x-2}{x^4+2x^3+3x^2+2x+1}$$
[/mm]
$$y' \ = \ [mm] \bruch{x^4+2x^3+3x^2+2x+1}{x^4+2x^3+3x^2+2x+1}+\bruch{-4x-2}{x^4+2x^3+3x^2+2x+1}$$
[/mm]
$$y' \ = \ [mm] 1+\bruch{-2*(2x+1)}{\left(x^2+x+1\right)^2}$$
[/mm]
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:56 Mo 22.06.2009 | | Autor: | ChopSuey |
Hallo Loddar nochmal  ,
jetzt verstehe ich, wie auf die Lösung zu kommen ist. Gut, zumindest hab ich in meinen Ableitungen keine Fehler.
Vielen Dank!
Grüße,
ChopSuey
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