Ableitungen < Trigonometr. Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:23 Fr 27.05.2011 | | Autor: | Nerix |
| Aufgabe | Bilden sie die 1.te,2te und 3te Ableitung von:
[mm] f(x):sin(x-\bruch{x^3}{3}) [/mm] |
Hallo,
ich hab morgen Klausur und festgestellt,es is mit den Ableitungen bei mir schon zu lange her^^ Also
1te Ableitung dürfte noch so aussehen:
cos [mm] (x-\bruch{x^3}{3})*(1-x^2)
[/mm]
soweit so gut einfach abgeleitet nach der Verknüpfungsregel.
so 2te Ableitung:
[mm] -sin(x-\bruch{x^3}{3})*(1-x^2)^2+cos(x-\bruch{x^3}{3})*(-2x)
[/mm]
auch noch nachvollziehbar...
aber bei der 3ten Ableitung bin ich ausgestiegen mit was hier wie nach wo und wann abgeleitet werden muss...
Kann wer helfen?
Grüße
Nerix
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Hallo Nerix,
> Bilden sie die 1.te,2te und 3te Ableitung von:
> [mm]f(x):sin(x-\bruch{x^3}{3})[/mm]
>
> ich hab morgen Klausur und festgestellt,es is mit den
> Ableitungen bei mir schon zu lange her^^ Also
> 1te Ableitung dürfte noch so aussehen:
> cos [mm](x-\bruch{x^3}{3})*(1-x^2)[/mm]
Schlecht lesbar. Besser ist [mm] (1-x^2)*\cos{\left(x-\bruch{x^3}{3}\right)}
[/mm]
weil dann klar ist, was zum Argument des Cosinus gehört und was nicht.
> soweit so gut einfach abgeleitet nach der
> Verknüpfungsregel.
Die heißt Kettenregel.
> so 2te Ableitung:
>
> [mm]-sin(x-\bruch{x^3}{3})*(1-x^2)^2+cos(x-\bruch{x^3}{3})*(-2x)[/mm]
> auch noch nachvollziehbar...
Wieder schlecht lesbar und daher fehlerträchtig, siehe oben.
Ansonsten aber ganz richtig.
> aber bei der 3ten Ableitung bin ich ausgestiegen mit was
> hier wie nach wo und wann abgeleitet werden muss...
> Kann wer helfen?
Also, wenn du bis hier fehlerfrei gekommen ist, schaffst Du den Rest mit Sicherheit auch. Du kannst es doch noch.
Auch in der dritten Ableitung kommen Sinus und Cosinus vor, die solltest Du dann jeweils ausklammern und alles andere dann in jeweils einer Klammer (vor der jeweiligen trigonometrischen Funktion, s.o.) zusammenfassen.
Du schaffst das.
Kontrollieren können wir das Ergebnis natürlich gern. Es wird, wie Du Dir schon denken kannst, natürlich von Ableitung zu Ableitung länger...
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:51 Fr 27.05.2011 | | Autor: | Nerix |
Hallo,
danke für den Hinweis auf die evtl. Fehlerträchtigkeit in meiner Darstellung,da hast du ganz recht natürlich!!!
Also ich hab schon Probleme -sin abzuleiten...ist die Ableitung von -sin= -cos???
falls Ja:
[mm] (-cos(x-\bruch{x^3}{3}))*(1-x^2)^2-(sin(x-\bruch{x^3}{3}))*(2*(1-x^2)*(-2x))-(sin(x-\bruch{x^3}{3}))*(1-x^2)*(-2x)+(cos(x-\bruch{x^3}{3}))*(-2)
[/mm]
Richtig????
Grüße
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Hallo nochmal,
das sieht wieder ziemlich gut aus!
> danke für den Hinweis auf die evtl. Fehlerträchtigkeit in
> meiner Darstellung,da hast du ganz recht natürlich!!!
>
> Also ich hab schon Probleme -sin abzuleiten...ist die
> Ableitung von -sin= -cos???
Na klar. Hier steht halt der Faktor (-1) davor. Wenn stattdessen eine 7 stünde, wäre ja auch die Ableitung von [mm] 7\sin [/mm] eben [mm] 7\cos.
[/mm]
> falls Ja:
>
> [mm](-cos(x-\bruch{x^3}{3}))*(1-x^2)^2-(sin(x-\bruch{x^3}{3}))*(2*(1-x^2)*(-2x))-(sin(x-\bruch{x^3}{3}))*(1-x^2)*(-2x)+(cos(x-\bruch{x^3}{3}))*(-2)[/mm]
>
> Richtig????
Im ersten Summanden fehlt ein Faktor [mm] (1-x^2); [/mm] da müsste also [mm] (1-x^2)^{\blue{3}} [/mm] vorkommen.
Sonst alles richtig. Jetzt wäre es natürlich noch nötig, soweit wie möglich zusammenzufassen, sonst macht die 4. Ableitung keinen Spaß mehr. 
Also [mm] f''(x)=(\cdots)*\sin{(\cdots)}+(\cdots)*\cos{(\cdots)}
[/mm]
Grüße
reverend
PS: Es fehlt Dir offenbar nicht an Können, sondern an Übung - und dadurch an Selbstvertrauen. Die zweite Ableitung hier ist schon ziemlich umfangreich, und da hast du nur einen Flüchtigkeitsfehler (wenn nicht Tippfehler).
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:06 Fr 27.05.2011 | | Autor: | Nerix |
Hallo,
ja,bin schon sehr lange aus dem Stoff draußen*g*Übung und Selbstvertrauen fehlen hier tatsächlich^^
Ok,aber
> >
> [mm](-cos(x-\bruch{x^3}{3}))*(1-x^2)^2-(sin(x-\bruch{x^3}{3}))*(2*(1-x^2)*(-2x))-(sin(x-\bruch{x^3}{3}))*(1-x^2)*(-2x)+(cos(x-\bruch{x^3}{3}))*(-2)[/mm]
> >
> > Richtig????
>
> Im ersten Summanden fehlt ein Faktor [mm](1-x^2);[/mm] da müsste
> also [mm](1-x^2)^{\blue{3}}[/mm] vorkommen.
Hmm,das verstehe ich hier nicht ganz,warum das ^3 sein muss...kannst du das kurz erklären??
Ich habe hier noch nicht zusammengefasst,da ich wollte,dass mein Rechenweg ersichtlich ist.
Vielen Dank
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Hallo Nerix,
ich musste gerade mal ein bisschen arbeiten, daher die späte Antwort...
> Ich habe hier noch nicht zusammengefasst,da ich wollte,dass
> mein Rechenweg ersichtlich ist.
Gute Idee. Sonst wird es auch wirklich schwierig, noch Fehler zu erkennen, es sei denn, Du postest den gesamten Rechenweg. Das ist natürlich ziemlich aufwändig, zumindestens wenn er auch in guter Formeldarstellung erscheinen soll. Also: gut so.
> ja,bin schon sehr lange aus dem Stoff draußen*g*Übung und
> Selbstvertrauen fehlen hier tatsächlich^^
Na, aber da Du es prinzipiell noch gut kannst, solltest Du einfach ein bisschen daran üben und darauf vertrauen, dass so alte Fähigkeiten nicht verloren sind, sondern im Gegenteil ziemlich ins Unterbewusstsein vorgedrungen sind. Du kannst Dich offenbar weitestgehend darauf verlassen.
> Ok,aber
> [mm](-cos(x-\bruch{x^3}{3}))*(1-x^2)^2-(sin(x-\bruch{x^3}{3}))*(2*(1-x^2)*(-2x))-(sin(x-\bruch{x^3}{3}))*(1-x^2)*(-2x)+(cos(x-\bruch{x^3}{3}))*(-2)[/mm]
> > >
> > > Richtig????
> >
> > Im ersten Summanden fehlt ein Faktor [mm](1-x^2);[/mm] da müsste
> > also [mm](1-x^2)^{\blue{3}}[/mm] vorkommen.
>
> Hmm,das verstehe ich hier nicht ganz,warum das ^3 sein
> muss...kannst du das kurz erklären??
Der erste Summand ist ja sozusagen der Anfang der Rechnung. Du bist dabei, $ [mm] f'(x)=-(1-x^2)^2*\sin{\left(x-\bruch{x^3}{3}\right)}-2x*\cos{\left(x-\bruch{x^3}{3}\right)} [/mm] $ abzuleiten.
Nach der Produktregel (uv)'=u'v+uv' sind also beide Faktoren "über Kreuz" einmal abgeleitet und einmal "unabgeleitet" miteinander zu kombinieren. Der fragliche Term beinhaltet die Ableitung des Sinus, also bleibt der andere Faktor.
Dann haben wir also die Ableitung von [mm] -\sin [/mm] (also [mm] -\cos [/mm] von Dingensgemüse) mal anderem Faktor, nämlich [mm] (1-x^2)^2.
[/mm]
Nun ist das Dingensgemüse aber auch eine Funktion von x, also kommt (wie ja schon vorher) noch die Kettenregel ins Spiel, will heißen: auch das Argument des Sinus muss noch abgeleitet werden und als Faktor angefügt werden.
Also haben wir da (bei Ableitung des in meiner Schreibweise rechten Faktors):
[mm] -(1-x^2)^2*\blue{\cos{\left(x-\bruch{x^3}{3}\right)}}*\green{(1-x^2)}=-(1-x^2)^{\red{3}}*\cos{\left(x-\bruch{x^3}{3}\right)}
[/mm]
Auf der linken Seite ist der schwarze Faktor schon in f'(x) enthalten und bleibt in diesem Summanden der Ableitung auch erhalten, der blaue Teil ist die äußere Ableitung, der grüne die innere. Beim Zusammenfassung ergibt sich also der rote Exponent 3.
Und das wars auch schon.
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:09 Sa 28.05.2011 | | Autor: | Nerix |
Hallo,
ah ich hab das Nachdifferenzieren hier übersehn....
Vielen Dank für die schnelle und kompetente Lösüng!!!!!!
Grüße
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