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Also wenn du deine zweite Ableitung vereinfachst (Polynomdivision), wird es ein wenig einfacher:
[mm]f''(x) = \bruch{2(x^3 + 3x^2 - 3x - 1)}{(1+x^2)^3}[/mm]
Und dementsprechend:
[mm]f^{(3)}(x) = -\bruch{6(x^4 +4x^3 - 6x^2 -4x +1)}{(1+x^2)^4}[/mm]
Aber versuch deine Argumentation doch mal ohne die dritte Ableitung sondern mit dem Vorzeichenkriterium der 2. Ableitung :)
Gruß,
Gono.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:23 Sa 30.12.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo
Nur kurz, Polynomdiv. braucht man nicht, wenn man durch [mm] 1+x^2 [/mm] kürzt , bevor man den Zähler ausrechnet. (ein Nennerfaktor fällt bei der 2. und 3. Ableitung fast immer raus!)
Gruss leduart
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[mm] $\rmfamily \text{Hi,}$
[/mm]
[mm] $\rmfamily \text{Genau, und dieser Trick erspart dir zumeist sehr viel Arbeit.}$
[/mm]
[mm] $\rmfamily \text{Dann kannst du das folgendermaßen machen.}$
[/mm]
[mm] $\rmfamily f\left(x\right)=\bruch{1+x}{1+x^2}\Rightarrow f'\left(x\right)=\bruch{1*\left(1+x^2\right)-(1+x)*2x}{\left(1+x^2\right)^2}$
[/mm]
[mm] $\rmfamily \text{Hier geht das zwar jetzt noch nicht, aber bei der 2. Ableitung:}$
[/mm]
[mm] $\left[\bruch{-x^2-2x+1}{\left(1+x^2\right)^2}\right]'=\bruch{\left(-2x-2\right)*\left(1+x^2\right)^2-\left(-x^2-2x+1\right)2\left(1+x^2\right)2x}{\left(1+x^2\right)^4}$
[/mm]
[mm] $\rmfamily \text{Jetzt erkennst du, dass in jedem Teil der Zählerdifferenz der Term }\left(1+x^2\right)\text{ mindestens einmal vorkommt.}$
[/mm]
[mm] $\rmfamily \text{Das bedeutet, dass du ihn einmal kürzen kannst:}$
[/mm]
[mm] $\rmfamily =\bruch{\left(-2x-2\right)\left(1+x^2\right)-\left(-x^2-2x+1\right)2*2x}{\left(1+x^2\right)^3}$
[/mm]
[mm] $\rmfamily \text{Dadurch verringert sich der Grad des Zählerpolynoms um einiges.}$
[/mm]
[mm] $\rmfamily \text{Taucht ein Term in einer Differenz natürlich in jedem Teil öfter als einmal auf, dann kann man ihn natürlich auch öfter kürzen!}$
[/mm]
[mm] $\rmfamily \text{Verspätete Weihnachtsgrüße, Stefan.}$
[/mm]
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:29 So 31.12.2006 | | Autor: | Idale |
Hey danke für den Tip, das kürzen hat doch sehr geholfen...
Nun stehe ich leider vor einem weiterem Problem, um nämlich den Wendepunkt herauszubekommen, muss man die 2.Ableitung 0 setzen (u. die 3.Ableitung fürs Krümmungsverhalten)...
f''(x) = [mm] \bruch{2x³ + 6x² - 6x - 2}{(1 + x²)³}
[/mm]
Durch geschicktes schauen, weiß ich, dass x = 1 ist. In die Ausgangsgleichung eingesetzt, erhalte ich 1.
-> der Wendepunkt liegt bei (1;1)
Nun wenn ich jetzt aber noch das Krümmungsverhalten herausbekommen möchte, muss ich x =1 in die dritte Ableitung einsetzen.
f'''(x) = [mm] \bruch{-6x^4 - 24x³ + 36x² - 6}{(1 + x²)^4}
[/mm]
x = 1 eingestetzt, erhalte ich 0, bedeutet dass ich Wendepunkt zwar habe, aber kein Krümmungsverhalten? Passt soetwas zusammen?
Für heute u. damit fürs gesamte Jahr wars das mit Mathe 
Feiert schön & nicht zuviele Gehirnzellen vertrinken
MFG
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> Hey danke für den Tip, das kürzen hat doch sehr
> geholfen...
>
> Nun stehe ich leider vor einem weiterem Problem, um nämlich
> den Wendepunkt herauszubekommen, muss man die 2.Ableitung 0
> setzen (u. die 3.Ableitung fürs Krümmungsverhalten)...
>
> f''(x) = [mm]\bruch{2x³ + 6x² - 6x - 2}{(1 + x²)³}[/mm]
>
> Durch geschicktes schauen, weiß ich, dass x = 1 ist. In die
> Ausgangsgleichung eingesetzt, erhalte ich 1.
>
> -> der Wendepunkt liegt bei (1;1)
>
[mm] $\rmfamily \text{Du kannst nicht nur mit der notwendigen Bedingung (}f''(x)=0\text{) behaupten, dass bei 1 ein Wendpunkt vorliegt.}$
[/mm]
[mm] $\rmfamily \text{Die hinreichende Bedingung (}f''(x)=0 \wedge f'''(x)\not=0\text{) tut immer Not!}$
[/mm]
> Nun wenn ich jetzt aber noch das Krümmungsverhalten
[mm] $\rmfamily \text{Auch, wenn du gar nicht am Krümmungsverhalten interessiert bist.}$
[/mm]
> herausbekommen möchte, muss ich x =1 in die dritte
> Ableitung einsetzen.
>
> f'''(x) = [mm]\bruch{-6x^4 - 24x³ + 36x² - 6}{(1 + x²)^4}[/mm]
>
> x = 1 eingestetzt, erhalte ich 0, bedeutet dass ich
> Wendepunkt zwar habe, aber kein Krümmungsverhalten? Passt
> soetwas zusammen?
>
[mm] $\rmfamily \text{Zuerst empfehle ich dir, Polynomdivision anzuwenden, um die anderen beiden Kandidaten als Wendestellen zu ermitteln.}$
[/mm]
[mm] $\rmfamily \text{Dass an der Stelle }x=1\text{ die 3. Ableitung gleich 0 ist, bedeutet keinesfalls, dass an dieser Stelle kein Wende-}$
[/mm]
[mm] $\rmfamily \text{punkt vorliegt. Überprüfe in diesem Fall die 2. Ableitung an dieser Stelle auf Vorzeichenwechsel, indem du einen Wert}$
[/mm]
[mm] $\rmfamily \text{geringfügig größer als 1 und einen Wert geringfügig kleiner als 1 einsetzt (ist das Vorzeichen an diesen beiden}$
[/mm]
[mm] $\rmfamily \text{Stellen verschieden, so liegt ein Wendepunkt vor.}$
[/mm]
> Für heute u. damit fürs gesamte Jahr wars das mit Mathe
>
>
> Feiert schön & nicht zuviele Gehirnzellen vertrinken
>
> MFG
[mm] $\rmfamily \text{Du auch, sylvestrische Grüße, Stefan.}$
[/mm]
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