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Forum "Rationale Funktionen" - Ableitungen - Kettenregel
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Ableitungen - Kettenregel: anderes Beispiel
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:42 So 09.01.2005
Autor: sepp

Hi,

vielen Dank!!! Ja, hab's kapiert. War etwas verwirrt :-)

Ich habe aber noch eine weitere Frage.

Ich hab ein weiteres Beispiel vorliegen:

[mm] f(x)=\bruch{1}{ \wurzel{ x^{3}+3x+1}}=(x^{3}+3x+1)^{- \bruch{1}{2}} [/mm]
[mm] f'(x)=-\bruch{1}{2}(x^{3}+2x+1)^{- \bruch{3}{2}}*(3x^{2}+2) [/mm]

soweit is alles klar, aber ich kann den nächsten Schritt nicht nachvollziehen:

[mm] f'(x)=\bruch{-1*(3x^{2}+2)}{2(x^{3}+2x+1)^{-\bruch{3}{2}}} [/mm]

letzter Schritt

[mm] f'(x)=\bruch{3x^{2}+2}{2\wurzel{x^{3}+2x+1)^{3}}} [/mm]

Ist das so richtig, und was passiert zwischen Schritt 2 und 3. Hoffe mir kann jemand helfen ...
        
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Ableitungen - Kettenregel: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:49 So 09.01.2005
Autor: nitro1185

Hallo!!!

Ich glaube da ist ein kleiner Fehler.Also das Ergebnis ist völlig richtig,also du hast richtig abgeleitet--Das andere ist nur ein bisschen anders geschrieben!!

Alles was in den Zähler steht kommt ind den Zähler und das gleiche mit dem Nenner.Die Vereinfachung liegt darin dass folgendes gilt!!

=> [mm] x^{-2}=\bruch{1}{x²} [/mm]  

So jetzt kannst du statt [mm] (x³+2x+1)^{-3/2} [/mm] folgendes schreiben:

[mm] \bruch{1}{ (x³+2x+1)^{+3/2}} [/mm]

Du musst dann wenn du den Term mit negativer Hochzahl umdrehst, die positive Hochzahl schreiben!!

Alles klar???MFG Dani
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Ableitungen - Kettenregel: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:07 So 09.01.2005
Autor: sepp

Hi,

danke! Aber das war doch die Erklärung für den Schritt 3 zu 4, oder?

Ich kann den Schritt von der 2. zur 3. "Formelgraphik" nicht nachvollziehen ...

Vielleicht kannst du da auch Licht ins Dunkel bringen???
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Ableitungen - Kettenregel: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:05 Mo 10.01.2005
Autor: Loddar

N'Abend Sepp,

zunächst einmal:

Das richtige Endergebnis für Deine Ableitungsfunktion lautet:

$f'(x) = - [mm] \bruch{3x^2 + 2}{2*\wurzel{(x^3 + 2x + 1)^3}}$ [/mm]


Steigen wir nochmal ein bei:
$f'(x) = - [mm] \bruch{1}{2}*(x^3 [/mm] + 2x + [mm] 1)^{-\bruch{3}{2}} [/mm] * [mm] (3x^2 [/mm] + 2)$

Aus dem Ausdruck [mm] $(...)^{-\bruch{3}{2}}$ [/mm] können wir einen Bruch schreiben, da der Exponent (= Hochzahl) negativ ist.
Dafür schreiben wir den Ausdruck mit positivem Exponenten in den Nenner des Bruches (siehe MBPotenzgesetz : [mm] $a^{-m} [/mm] = [mm] \bruch{1}{a^m}$). [/mm]

$f'(x) = - [mm] \bruch{1}{2}*\bruch{1}{(x^3 + 2x + 1)^{\red{+}\bruch{3}{2}}} [/mm] * [mm] (3x^2 [/mm] + 2)$

Da es sich hier um ein Produkt handelt, dürfen wir [mm] $(3x^2 [/mm] + 2)$ in den Zähler schreiben:
$f'(x) = - [mm] \bruch{1}{2}*\bruch{(3x^2 + 2)}{(x^3 + 2x + 1)^{\bruch{3}{2}}}$ [/mm]

Nun wenden wir ein weiteres MBPotenzgesetz an, und zwar im Nenner:
[mm] $a^{\bruch{m}{n}} [/mm] = [mm] \wurzel[n]{a^m}$ [/mm]
Wir erhalten also:
$f'(x) = - [mm] \bruch{1}{2}*\bruch{3x^2 + 2}{\wurzel[2]{(x^3 + 2x + 1)^3}}$ [/mm]

Für [mm] $\wurzel[2]{(...)}$ [/mm] können wir kurz schreiben [mm] $\wurzel{(...)}$, [/mm] wir fassen mit dem Bruch [mm] $\bruch{1}{2}$ [/mm] zusammen und erhalten letztendlich das o.g. Ergebnis:

$f'(x) = - [mm] \bruch{3x^2 + 2}{2*\wurzel{(x^3 + 2x + 1)^3}}$ [/mm]


Ich hoffe, ich konnte etwas zur Klärung beitragen ...

Loddar

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Ableitungen - Kettenregel: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:07 Mo 10.01.2005
Autor: Cybrina

Also, das Minus Eins im Nenner kommt von dem Minus vor der Aufgabe.
Das (3x2 + 2) duerfte ja auch offensichtlich sein.
Die 2 im Nenner kommt von dem einhalb.
Und die Klammer im Nenner duerfte einfach mal falsch geschrieben sein. Da muesste anstatt „minus 3 Halbe“ nur „3 Halbe“ stehen. Und das kommt davon, dass „hoch minus eins“ das gleiche ist, wie „1 durch das ganze“.

Ich hoffe das hilft.

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