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Forum "Exp- und Log-Funktionen" - Ableitungen II e-Funktionen
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Ableitungen II e-Funktionen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:52 Fr 21.03.2008
Autor: hase-hh

Aufgabe
Bilde die ersten beiden Ableitungen

a) f(x) = [mm] x*e^x [/mm]

b) f(x) = [mm] x*e^{-x} [/mm]

c) f(x) = [mm] (2-x)*e^x [/mm]

d) f(x) = [mm] (x-3)*e^{-x} [/mm]

e) f(x) = [mm] (x^2-2x+3)*e^{-x} [/mm]

f) f(x) = [mm] (4-x^2)*e^x [/mm] + [mm] (x^2-4)*e^{-x} [/mm]

g) f(x) = [mm] \bruch{e^x}{1+e^x} [/mm]

h) f(x) = [mm] \bruch{1}{1+e^x} [/mm]

i) f(x) = [mm] \bruch{e^x}{x^2+1} [/mm]

Moin,

bei den Aufgaben habe ich die Produkt- bzw. die Quotientenregel angewandt (am Rande die Kettenregel)...

Ist das so richtig?

a) f(x) = [mm] x*e^x [/mm]

f ' (x) = [mm] 1*e^x [/mm] + [mm] x*e^x [/mm]

f ' (x) = [mm] e^x [/mm] (1+x)

f '' (x) = [mm] e^x*(1+x) [/mm] + [mm] e^x*1 [/mm]

f '' (x) = [mm] e^x*(2+x) [/mm]


b) f(x) = [mm] x*e^{-x} [/mm]

f ' (x) = [mm] 1*e^{-x} [/mm] + x*(- [mm] e^{-x}) [/mm]

f ' (x) = [mm] e^{-x}*(1-x) [/mm]

f '' (x) = [mm] -1*e^{-x}*(1-x) [/mm] + [mm] e^{-x}*(-1) [/mm]

f '' (x) = - [mm] e^{-x}*(2-x) [/mm]


c) f(x) = [mm] (2-x)*e^x [/mm]

f ' (x) = [mm] -1*e^x [/mm] + [mm] (2-x)*e^x [/mm]

f ' (x) = [mm] e^x*(1-x) [/mm]

f '' (x) = [mm] e^x*(1-x) [/mm] + [mm] e^x*(-1) [/mm]

f '' (x) = [mm] e^x*(-x) [/mm]


d) f(x) = [mm] (x-3)*e^{-x} [/mm]

f ' (x) = [mm] 1*e^{-x} [/mm] + (x-3)*(- [mm] e^{-x}) [/mm]

f ' (x) = [mm] e^{-x}*(4-x) [/mm]

f '' (x) = [mm] -1*e^{-x}*(4-x) [/mm] + [mm] e^{-x}*(-1) [/mm]

f '' (x) = - [mm] e^{-x}*(5-x) [/mm]


e) f(x) = [mm] (x^2-2x+3)*e^{-x} [/mm]

f ' (x) = [mm] (2x-2)*e^{-x} [/mm] + [mm] (x^2-2x+3)*(- e^{-x}) [/mm]

f ' (x) = [mm] e^{-x}*(-x^2+4x-5) [/mm]

f '' (x) = [mm] -1*e^{-x}*(-x^2+4x-5) [/mm] + [mm] e^{-x}*(-2x+4) [/mm]

f '' (x) = [mm] e^{-x}*(x^2-6x+9) [/mm]


f) f(x) = [mm] (4-x^2)*e^x [/mm] + [mm] (x^2-4)*e^{-x} [/mm]

hier bin ich nicht sicher, ob es einfacher ist, wenn ich (-1) z.b. aus [mm] (4-x^2) [/mm] ausklammere...

f ' (x) = [mm] -2x*e^x [/mm] + [mm] (4-x^2)*e^x [/mm] + [mm] 2x*e^{-x} [/mm] + [mm] (x^2-4)*(- e^{-x}) [/mm]

f ' (x) = [mm] e^x*(-x^2-2x+4) [/mm] + [mm] e^{-x}*(-x^2+2x+4) [/mm]


f '' (x) = [mm] e^x*(-x^2-2x+4) [/mm] + [mm] e^x*(-2x-2) [/mm] + (- [mm] e^{-x})*(-x^2+2x+4) [/mm]
+ [mm] e^{-x}*(2x+2) [/mm]

weitere vereinfachungsversuche sind mir nicht gelungen...


g) f(x) = [mm] \bruch{e^x}{1+e^x} [/mm]

f ' (x) = [mm] \bruch{e^x(1+e^x) - e^x*e^x}{(1+e^x)^2} [/mm]

f ' (x) = [mm] \bruch{1}{(1+e^x)^2} [/mm]


f '' (x) = [mm] \bruch{0 - 2*(1+e^x)*e^x}{(1+e^x)^4} [/mm]

f '' (x) =  [mm] \bruch{- 2*e^x}{(1+e^x)^3} [/mm]


h) f(x) = [mm] \bruch{1}{1+e^x} [/mm]

f ' (x) =  [mm] \bruch{- e^x}{(1+e^x)^2} [/mm]

f '' (x) =  [mm] \bruch{- e^x*(1+e^x)^2 + e^x*2*(1+e^x)*e^x}{(1+e^x)^4} [/mm]

f '' (x) = [mm] \bruch{- e^x*(1+e^x) + 2*e^x*e^x}{(1+e^x)^3} [/mm]

f '' (x) = [mm] \bruch{e^x*(e^x-1)}{(1+e^x)^3} [/mm]


i) f(x) = [mm] \bruch{e^x}{x^2+1} [/mm]

f ' (x) = [mm] \bruch{e^x*(x^2+1)^2 - e^x*2x}{(x^2+1)^2} [/mm]

f ' (x) = [mm] \bruch{e^x*(x^2-2x+1)}{(x^2+1)^2} [/mm]

f '' (x) = [mm] \bruch{[e^x*(x^2-2x+1) +e^x*(2x-2)]*(x^2+1)^2 - e^x*(x^2-2x+1)*2*(x^2+1)*2x}{(x^2+1)^4} [/mm]

f '' (x) = [mm] \bruch{[e^x*(x^2-2x+1) +e^x*(2x-2)]*(x^2+1) - e^x*(x^2-2x+1)*2*2x}{(x^2+1)^4} [/mm]

wie weit ist eine weitere umformung (noch) sinnvoll?
ich könnte [mm] e^x [/mm] ausklammern, die klammern auflösen...

Danke für eure Hilfe!

Gruß
Wolfgang



        
Bezug
Ableitungen II e-Funktionen: erste Aufgaben ...
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:38 Fr 21.03.2008
Autor: Loddar

Hallo Wolfgang!


> bei den Aufgaben habe ich die Produkt- bzw. die
> Quotientenregel angewandt (am Rande die Kettenregel)...

[ok] Sehr gut ...



> a) f(x) = [mm]x*e^x[/mm]
> f ' (x) = [mm]1*e^x[/mm] + [mm]x*e^x[/mm]
> f ' (x) = [mm]e^x[/mm] (1+x)
> f '' (x) = [mm]e^x*(1+x)[/mm] + [mm]e^x*1[/mm]
> f '' (x) = [mm]e^x*(2+x)[/mm]

[ok]


> b) f(x) = [mm]x*e^{-x}[/mm]
> f ' (x) = [mm]1*e^{-x}[/mm] + x*(- [mm]e^{-x})[/mm]
> f ' (x) = [mm]e^{-x}*(1-x)[/mm]
> f '' (x) = [mm]-1*e^{-x}*(1-x)[/mm] + [mm]e^{-x}*(-1)[/mm]
> f '' (x) = - [mm]e^{-x}*(2-x)[/mm]

[ok]


> c) f(x) = [mm](2-x)*e^x[/mm]
> f ' (x) = [mm]-1*e^x[/mm] + [mm](2-x)*e^x[/mm]
> f ' (x) = [mm]e^x*(1-x)[/mm]
> f '' (x) = [mm]e^x*(1-x)[/mm] + [mm]e^x*(-1)[/mm]
> f '' (x) = [mm]e^x*(-x)[/mm]


[ok]


> d) f(x) = [mm](x-3)*e^{-x}[/mm]
> f ' (x) = [mm]1*e^{-x}[/mm] + (x-3)*(- [mm]e^{-x})[/mm]
> f ' (x) = [mm]e^{-x}*(4-x)[/mm]
> f '' (x) = [mm]-1*e^{-x}*(4-x)[/mm] + [mm]e^{-x}*(-1)[/mm]
> f '' (x) = - [mm]e^{-x}*(5-x)[/mm]


[ok]


> e) f(x) = [mm](x^2-2x+3)*e^{-x}[/mm]
> f ' (x) = [mm](2x-2)*e^{-x}[/mm] + [mm](x^2-2x+3)*(- e^{-x})[/mm]
> f ' (x) = [mm]e^{-x}*(-x^2+4x-5)[/mm]
> f '' (x) = [mm]-1*e^{-x}*(-x^2+4x-5)[/mm] + [mm]e^{-x}*(-2x+4)[/mm]
> f '' (x) = [mm]e^{-x}*(x^2-6x+9)[/mm]


[ok]


> f) f(x) = [mm](4-x^2)*e^x[/mm] + [mm](x^2-4)*e^{-x}[/mm]
> hier bin ich nicht sicher, ob es einfacher ist, wenn ich
> (-1) z.b. aus [mm](4-x^2)[/mm]Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

ausklammere...

[ok] Gut. Und dann noch $\left(x^2-4)$ ausklammern ...

Damit ergibt sich dann die Funktion $f(x) \ = \ -\left(x^2-4\right)*\left(e^x-e^{-x} \ \right) \ = \ \left(x^2-4\right)*\left(e^{-x}-e^x \ \right)$ .


Gruß
Loddar

Bezug
                
Bezug
Ableitungen II e-Funktionen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:58 Fr 21.03.2008
Autor: hase-hh

Hi!

>
> > f) f(x) = [mm](4-x^2)*e^x[/mm] + [mm](x^2-4)*e^{-x}[/mm]
>  > hier bin ich nicht sicher, ob es einfacher ist, wenn ich

> > (-1) z.b. aus [mm](4-x^2)[/mm] ausklammere...
>  
> [ok] Gut. Und dann noch [mm]\left(x^2-4)[/mm] ausklammern ...
>  
> Damit ergibt sich dann die Funktion [mm]f(x) \ = \ \left(x^2-4\right)*\left(e^x-e^{-x} \ \right)[/mm]
> .
>  
>
> Gruß
>  Loddar
>  

Also hier habe ich jetzt:

f(x) = [mm] (4-x^2)*e^x [/mm] + [mm] (x^2-4)*e^{-x} [/mm]

f(x) = - [mm] (x^2-4)*e^x [/mm] + [mm] (x^2-4)*e^{-x} [/mm]

f(x)= [mm] (x^2-4)*(- e^x [/mm] + [mm] e^{-x}) [/mm]

f ' (x) = 2x*(- [mm] e^x [/mm] + [mm] e^{-x}) [/mm] + [mm] (x^2-4)*( -e^x [/mm] - [mm] e^{-x}) [/mm]

f '' (x) = 2*(- [mm] e^x [/mm] + [mm] e^{-x}) [/mm] + 2x*(- [mm] e^x [/mm] - [mm] e^{-x}) [/mm] + 2x*( [mm] -e^x [/mm] - [mm] e^{-x}) [/mm]
+ [mm] (x^2-4)*( -e^x [/mm] + [mm] e^{-x}) [/mm]

f '' (x) = 2*(- [mm] e^x [/mm] + [mm] e^{-x}) [/mm] + 4x*(- [mm] e^x [/mm] - [mm] e^{-x}) [/mm] + [mm] (x^2-4)*( -e^x [/mm] + [mm] e^{-x}) [/mm]

f '' (x) = - [mm] e^x*(2+4x+x^2-4) [/mm] + [mm] e^{-x}*(2-4x+x^2-4) [/mm]

f '' (x) = - [mm] e^x*(x^2+4x-2) [/mm] + [mm] e^{-x}*(x^2-4x+-2) [/mm]



Gruß
Wolfgang
Bezug
                        
Bezug
Ableitungen II e-Funktionen: Richtig!
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:02 Fr 21.03.2008
Autor: Loddar

Hallo Wolfgang!


[daumenhoch] Sehr gut ... und auch nicht durch meinen Vorzeichenfehler in meiner Antwort irritieren lassen ;-) ...


Gruß
Loddar

Bezug
        
Bezug
Ableitungen II e-Funktionen: weiter geht's ...
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:01 Fr 21.03.2008
Autor: Loddar

Hallo Wolfgang!


> f) f(x) = [mm](4-x^2)*e^x[/mm] + [mm](x^2-4)*e^{-x}[/mm]
> f ' (x) = [mm]-2x*e^x[/mm] + [mm](4-x^2)*e^x[/mm] + [mm]2x*e^{-x}[/mm] + [mm](x^2-4)*(- e^{-x})[/mm]
> f ' (x) = [mm]e^x*(-x^2-2x+4)[/mm] + [mm]e^{-x}*(-x^2+2x+4)[/mm]

[ok]


> f '' (x) = [mm]e^x*(-x^2-2x+4)[/mm] + [mm]e^x*(-2x-2)[/mm] + (-  [mm]e^{-x})*(-x^2+2x+4)[/mm] + [mm]e^{-x}*(2x+2)[/mm]

[notok] In der letzen Klammer muss es [mm] $\red{-}2x+2$ [/mm] lauten.

Anschließend kannst Du dann noch jeweils [mm] $e^x$ [/mm] bzw. [mm] $e^{-x}$ [/mm] ausklammern.


> g) f(x) = [mm]\bruch{e^x}{1+e^x}[/mm]

>
> f ' (x) = [mm]\bruch{e^x(1+e^x) - e^x*e^x}{(1+e^x)^2}[/mm]

[ok]

> f ' (x) = [mm]\bruch{1}{(1+e^x)^2}[/mm]

[notok] Wo ist denn der Term [mm] $e^x$ [/mm] im Zähler verblieben? Es eliminieren sich doch nur die beiden [mm] $e^{2x}$ [/mm] .


> h) f(x) = [mm]\bruch{1}{1+e^x}[/mm]
>  
> f ' (x) =  [mm]\bruch{- e^x}{(1+e^x)^2}[/mm]
>  
> f '' (x) =  [mm]\bruch{- e^x*(1+e^x)^2 + e^x*2*(1+e^x)*e^x}{(1+e^x)^4}[/mm]
>  
> f '' (x) = [mm]\bruch{- e^x*(1+e^x) + 2*e^x*e^x}{(1+e^x)^3}[/mm]
>  
> f '' (x) = [mm]\bruch{e^x*(e^x-1)}{(1+e^x)^3}[/mm]

[ok] Sehr gut ...


> i) f(x) = [mm]\bruch{e^x}{x^2+1}[/mm]
>  
> f ' (x) = [mm]\bruch{e^x*(x^2+1)^2 - e^x*2x}{(x^2+1)^2}[/mm]

[notok] Wo kommt den plötzlich das [mm] $(...)^{\red{2}}$ [/mm] her? [kopfkratz3]


Gruß
Loddar

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Bezug
Ableitungen II e-Funktionen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:35 Fr 21.03.2008
Autor: hase-hh

Moin!


> > g) f(x) = [mm]\bruch{e^x}{1+e^x}[/mm]
>  >
>  > f ' (x) = [mm]\bruch{e^x(1+e^x) - e^x*e^x}{(1+e^x)^2}[/mm]

>  
> [ok]

:

Wo ist denn der Term [mm] e^x [/mm] im Zähler verblieben? Es eliminieren sich doch nur die beiden  [mm] e^{2x}. [/mm]

f ' (x) = [mm]\bruch{e^x}{(1+e^x)^2}[/mm]

logisch, im Zähler bleibt [mm] e^x [/mm] erhalten.
  

f '' (x) = [mm] \bruch{e^x*(1+e^x)^2 - e^x*(2*(1+e^x)*e^x}{(1-e^x)^4} [/mm]

f '' (x) = [mm] \bruch{e^x - e^{2x}}{(1+e^x)^3} [/mm]


> > i) f(x) = [mm]\bruch{e^x}{x^2+1}[/mm]
>  >  
> > f ' (x) = [mm]\bruch{e^x*(x^2+1)^2 - e^x*2x}{(x^2+1)^2}[/mm]
>  
> [notok] Wo kommt den plötzlich das [mm](...)^{\red{2}}[/mm] her?
> [kopfkratz3]

nun, auch hier ein Tippfehler...

f ' (x) = [mm] \bruch{e^x*(x^2+1) - e^x*2x}{(x^2+1)^2} [/mm]

f ' (x) = [mm] \bruch{e^x*(x^2-2x+1)}{(x^2+1)^2} [/mm]

f '' (x) = [mm] \bruch{[e^x*(x^2-2x+1)+e^x*(2x-2)]*(x^2+1)^2 - e^x*(x^2-2x+1)*2*(x^2+1)*2x}{(x^2+1)^4} [/mm]

f '' (x) = [mm] \bruch{e^x*(x^2-2x+1)*(x^2+1) + e^x*(2x-2)*(x^2+1) - e^x*(x^2-2x+1)*4x}{(x^2+1)^3} [/mm]

f '' (x) = [mm] \bruch{e^x*[(x^2-2x+1)*(x^2+1) + (2x-2)*(x^2+1) - (x^2-2x+1)*4x}{(x^2+1)^3} [/mm]

f '' (x) = [mm] \bruch{e^x*[x^4 +x^2 -2x^3-2x+x^2+1+2x^3+2x-2x^2-2 -4x^3+8x^2-4x]}{(x^2+1)^3} [/mm]

f '' (x) = [mm] \bruch{e^x*[x^4 -4x^3+8x^2-4x-1]}{(x^2+1)^3} [/mm]

f '' (x) = [mm] \bruch{e^x*[(x-1)*(x^3 -3x^2+5x+1)]}{(x^2+1)^3} [/mm]


Gruß
Wolfgang
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Bezug
Ableitungen II e-Funktionen: sehr gut!
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:38 Fr 21.03.2008
Autor: Loddar

Hallo Wolfgang!



> f ' (x) = [mm]\bruch{e^x}{(1+e^x)^2}[/mm]

[ok]

  
> f '' (x) = [mm]\bruch{e^x*(1+e^x)^2 - e^x*(2*(1+e^x)*e^x}{(1-e^x)^4}[/mm]
>  
> f '' (x) = [mm]\bruch{e^x - e^{2x}}{(1+e^x)^3}[/mm]

[ok]




> f ' (x) = [mm]\bruch{e^x*(x^2+1) - e^x*2x}{(x^2+1)^2}[/mm]
>  
> f ' (x) = [mm]\bruch{e^x*(x^2-2x+1)}{(x^2+1)^2}[/mm]

[ok] Hier könnte man sich die folgende Arbeit etwas erleichtern, wenn man erkennt: [mm] $x^2-2x+1 [/mm] \ = \ [mm] (x-1)^2$ [/mm] .

  
> f '' (x) = [mm]\bruch{[e^x*(x^2-2x+1)+e^x*(2x-2)]*(x^2+1)^2 - e^x*(x^2-2x+1)*2*(x^2+1)*2x}{(x^2+1)^4}[/mm]
>  
> f '' (x) = [mm]\bruch{e^x*(x^2-2x+1)*(x^2+1) + e^x*(2x-2)*(x^2+1) - e^x*(x^2-2x+1)*4x}{(x^2+1)^3}[/mm]
>  
> f '' (x) = [mm]\bruch{e^x*[(x^2-2x+1)*(x^2+1) + (2x-2)*(x^2+1) - (x^2-2x+1)*4x}{(x^2+1)^3}[/mm]
>  
> f '' (x) = [mm]\bruch{e^x*[x^4 +x^2 -2x^3-2x+x^2+1+2x^3+2x-2x^2-2 -4x^3+8x^2-4x]}{(x^2+1)^3}[/mm]
>  
> f '' (x) = [mm]\bruch{e^x*[x^4 -4x^3+8x^2-4x-1]}{(x^2+1)^3}[/mm]
>  
> f '' (x) = [mm]\bruch{e^x*[(x-1)*(x^3 -3x^2+5x+1]}{(x^2+1)^3}[/mm]

[applaus] Absolut richtig! Und weiter Möglichkeiten zum Zusammenfassen / Vereinfachen sehe ich auch nicht ...


Gruß
Loddar

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