Ableitungen der Umkehrfunktion < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:22 So 28.02.2010 | | Autor: | ChrisCI |
| Aufgabe | Gegeben seien s(x,y,z), t(x,y,z) und u(x,y,z) mit s,t,u: [mm] \IR^{3} \to [/mm] [0,1] [mm] \subset \IR [/mm] streng monoton steigend, x,y,z [mm] \in [/mm] [0,1] [mm] \subset \IR, [/mm] s(0,y,z) = 0, s(1,y,z) = 1, t(x,0,z) = 0, t(x,1,z) = 1, u(x,y,0) = 0, u(x,y,1) = 1.
Wie bekommt man die Ableitungen höherer Ordnung der Umkehrfunktionen? (Lokal oder global, falls möglich) |
Für erste Ordnung weiß ich, dass man das totale Differential bilden kann, und zwar einmal für s,t,u und einmal für x,y,z. Dann schreibt man das ganze in Matrixschreibweise hin:
Einserseits:
[mm] \vektor{ds \\ dt \\ du} [/mm] = [mm] \pmat{ s_{x} & s_{y} & s_{z} \\ t_{x} & t_{y} & t_{z} \\ u_{x} & u_{y} & u_{z}}\vektor{dx \\ dy \\ dz}
[/mm]
und andererseits:
[mm] \vektor{dx \\ dy \\ dz} [/mm] = [mm] \pmat{ x_{s} & x_{t} & x_{u} \\ y_{s} & y_{t} & y_{u} \\ z_{s} & z_{t} & z_{u}}\vektor{ds \\ dt \\ du}
[/mm]
Man sieht, dass, falls die Matrizen invertierbar sind, diese jeweils zueinander invers sind.
Aber für Ableitungen höherer Ordnung funktioniert das irgendwie nicht... Dort habe ich das Problem, dass bei einem Differential [mm] d^{2}s [/mm] und beim anderen [mm] ds^{2} [/mm] herauskommt.
Ich bräuchte dass bis zu den 4. Ableitungen. Kann mir da jemand behilflich sein, oder sagen, wo ich sowas nachlesen kann?
Vielen Dank,
Chris
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:02 So 28.02.2010 | | Autor: | ChrisCI |
Brauche ich da lediglich den Satz über die inversen Funktionen anwenden? und für höhere Ableitungen als Funktion eben schon Ableitungen vom Grad eins weniger benutzen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:30 So 28.02.2010 | | Autor: | ChrisCI |
Ich muss nur entsprechende Matrizen wie z.B.
[mm] \pmat{ \partial_{s} & 0 & 0 \\ 0 & \partial_{s} & 0 \\ 0 & 0 & \partial_{s}}
[/mm]
an die Matrizen dranmultiplizieren und nachdifferenzieren.
Die Frage hat sich damit erledigt!
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