Ableitungen holomorpher Fkt. < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:01 So 27.06.2010 | | Autor: | jxn |
| Aufgabe 1 | | Man bestimme alle Funktionen f [mm] \in H(\IC), [/mm] die |f'(z)| < |f(z)| für alle [mm] z\in\IC [/mm] erfüllen. |
| Aufgabe 2 | Es sei [mm] \Omega\subset\IC [/mm] eine offene Menge, [mm] f\in H(\Omega). [/mm] Man zeige:
1) Für alle [mm] z\in\Omega [/mm] gibt es ein r>0 mit der folgenden Eigenschaft: Es gibt eine holomorphe Funktion g: [mm] B_r(z)\to\IC, [/mm] so dass f=g'.
2) Falls [mm] \Omega [/mm] konvex ist, dann gibt es eine holomorphe Funktion g: [mm] \Omega\to\IC [/mm] mit f=g'. |
Hallo zusammen!
Zu holomorphen Funktionen ist bekannt:
f ist holomorph ist dazu äquivalent, dass
1) [mm] \limes_{z\rightarrow\z_0} \bruch{f(z)-f(z_0)}{z-z_0} [/mm] existiert
2) f ist reell diffbar, Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen sind erfüllt
3) f ist analytisch
4) Integral von f über eine Schleife [mm] \gamma [/mm] ist = 0.
Ferner sind der Satz von Liouville und der Identitätssatz bekannt.
Zu Aufgabe 1:
Konkret fallen mir erstmal alle konstanten Funktionen ein, und alle Funktionen der Art e^(a*z) mit 0<a<1. Aber das ist ja wenig systematisch ausgearbeitet.
Zu Aufgabe 2:
Hier fehlt mir leider komplett ein guter Ansatz. Aus den C-R-DGL kann man folgern dass, wenn man f=u+iv schreibt, dass dann [mm] f'=u_x+iv_x [/mm] sein muss.
Bringt mich das bei einer der Aufgaben weiter?
Über einen Denkanstoß würde ich mich sehr freuen.
Gruß,
jxn
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:51 Mo 28.06.2010 | | Autor: | fred97 |
> Man bestimme alle Funktionen f [mm]\in H(\IC),[/mm] die |f'(z)| <
> |f(z)| für alle [mm]z\in\IC[/mm] erfüllen.
> Es sei [mm]\Omega\subset\IC[/mm] eine offene Menge, [mm]f\in H(\Omega).[/mm]
> Man zeige:
> 1) Für alle [mm]z\in\Omega[/mm] gibt es ein r>0 mit der folgenden
> Eigenschaft: Es gibt eine holomorphe Funktion g:
> [mm]B_r(z)\to\IC,[/mm] so dass f=g'.
> 2) Falls [mm]\Omega[/mm] konvex ist, dann gibt es eine holomorphe
> Funktion g: [mm]\Omega\to\IC[/mm] mit f=g'.
> Hallo zusammen!
>
> Zu holomorphen Funktionen ist bekannt:
> f ist holomorph ist dazu äquivalent, dass
> 1) [mm]\limes_{z\rightarrow\z_0} \bruch{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}[/mm]
> existiert
> 2) f ist reell diffbar,
> Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen sind erfüllt
> 3) f ist analytisch
> 4) Integral von f über eine Schleife [mm]\gamma[/mm] ist = 0.
> Ferner sind der Satz von Liouville und der Identitätssatz
> bekannt.
>
> Zu Aufgabe 1:
> Konkret fallen mir erstmal alle konstanten Funktionen ein,
> und alle Funktionen der Art e^(a*z) mit 0<a<1. Aber das ist
> ja wenig systematisch ausgearbeitet.
Wegen |f'(z)| < |f(z)| für alle $ [mm] z\in\IC [/mm] $, ist f auf [mm] \IC [/mm] nullstellenfrei, somit ist g:=f'/f eine ganze Funktion mit |g| <1 auf [mm] \IC. [/mm] Was sagt Liouville dazu ?
>
> Zu Aufgabe 2:
> Hier fehlt mir leider komplett ein guter Ansatz. Aus den
> C-R-DGL kann man folgern dass, wenn man f=u+iv schreibt,
> dass dann [mm]f'=u_x+iv_x[/mm] sein muss.
> Bringt mich das bei einer der Aufgaben weiter?
1) folgt aus 2) !!
Zu 2) Wähle [mm] z_0 \in \Omega [/mm] fest. Für z [mm] \in \Omega [/mm] sei [mm] \gamma_z(t) [/mm] := [mm] z_0+t(z-z_0) [/mm] (t [mm] \in [/mm] [0,1])
Setze $g(z):= [mm] \integral_{\gamma_z}^{}{f(w) dw}$
[/mm]
FRED
>
> Über einen Denkanstoß würde ich mich sehr freuen.
>
> Gruß,
> jxn
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:18 Mo 28.06.2010 | | Autor: | jxn |
Damit kann ich was anfangen. Dankeschön.
Gruß,
jxn
|
|
|
|
