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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:46 Do 07.07.2005 | | Autor: | Becks |
Hallo zusammen ;)
Ich habe noch eine letzte Frage wegen einer Aufgabe und hoffe, einer von euch kann mir was dazu sagen.
Untersuchen Sie die nachfolgenden Funktionen f,g,h: [mm] \IR \to \IR [/mm] im Definitionsbereich auf Differenzierbarkeit bzw. einseitige Differenzierbarkeit. Bestimmen Sie die Ableitungen bzw. einseitige Ableitungen. Ermittlen Sie ferner im Ursprung die Gleichungen der (Halb-)Tangenten an den Graphen. Fertigen Sie jeweils Skizzen an.
f(x) := arctan(x)
[mm] g(x):=\begin{cases} \wurzel{x}+1, & \mbox{für } x\ge \mbox{ 0} \\ \wurzel{1-x}, & \mbox{für } x< \mbox{ 0} \end{cases}
[/mm]
[mm] h(x):=\begin{cases} x(1+2xsin(\bruch{1}{x})), & \mbox{für } x\not= \mbox{ 0} \\ 0, & \end{cases}
[/mm]
-------------------
Bei den Ableitungen habe ich raus
f´(x) = [mm] \bruch{1}{1+x²}
[/mm]
g(x) = [mm] \wurzel{x} [/mm] + 1 = [mm] x^{\bruch{1}{2}} [/mm] + 1
g´(x) = [mm] \bruch{1}{2} [/mm] * [mm] x^{-\bruch{1}{2}}
[/mm]
g(x) = [mm] \wurzel{1-x}
[/mm]
g´ [mm] (x)=\bruch{1}{2}*(1-x)^{-\bruch{1}{2}}*(-1)
[/mm]
h(x) = x + [mm] 2x²*sin(\bruch{1}{x})
[/mm]
h´(x) = 1 + [mm] 4x*sin(\bruch{1}{x})+2x²*cos(\bruch{1}{x})*(-x)^{-2}
[/mm]
Die Ableitungen dürften hoffentlich stimmen.
Aber wie zeige ich, dass diese Funktionen differenzierbar sind?
Bei den Geraden habe ich ja die Steigung durch die Ableitung. Aber wie stelle ich nochmal die Gleichung dafür auf?
Hat die jemand im Kopf? ^^
Ich hoffe ihr könnt mir zu so später Stunde noch helfen.
Viele Grüße Becks
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:15 Do 07.07.2005 | | Autor: | matrinx |
Hallo!
Ich denke für die Diffbarkeit musst Du nur die Definitionslücken der Ableitungen untersuchen (was passiert zum Beispiel bei h'(0)?) an allen anderen Stellen ist die Funktion diffbar. Für die einseitige Diffbarkeit sollst Du vermutlich bei g'(x) von rechts gegen die Definitionslücke "limen" um die Steigung für die Tangente rauszubekommen...
P.S.: [mm] 2x^{2}*cos(\bruch{1}{x})*(-x)^{-2} [/mm] = [mm] 2*cos(\bruch{1}{x})
[/mm]
P.P.S.: Die Tangenten sind im Ursprung zu bestimmen...damit ist Deine Tangente von der Form
tf(x)=f'(0)*x
tg(x)=g'(0)*x (hier ist wahrscheinlich die tangente für x [mm] \ge0 [/mm] gemeint)
th(x)=h'(0)*x
P.P.P.S.: Schon spät, deswegen keine Garantie für Richtigkeit. Guck mal ob Du damit weiterkommst, ich schau morgen früh nochmal rein...Grüsse
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 07:27 Do 07.07.2005 | | Autor: | Becks |
Ich habe mal nachgeschaut. Eine Funktion ist differenzierbar, wenn der Grenzwert
[mm] \limes_{x\rightarrowa}\bruch{f(x)-f(a)}{x-a} [/mm] = [mm] \limes_{h\rightarrow0}\bruch{f(a+h)-f(a)}{h}
[/mm]
das verwirrt mich aber und ich weiß nicht wie ich das genau machen soll. Was meinst du genau mit "limen" :)
Wenn ich bei den Tangentengleichungen x=0 einsetze, bekomme ich für die Steigung immer 0 raus. Das kann doch nicht sein oder?
Ich hoffe du hast gut geschlafen und kannst mir dazu noch was sagen ;)
Viele Grüße Becks
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:30 Do 07.07.2005 | | Autor: | matrinx |
Hallo und einen guten Morgen!
Die beiden [mm] \limes_ [/mm] die du hingeschrieben hast sind Formulierungen für f'(x), also
[mm] \limes_{x\rightarrow a}...=f'(x)= \limes_{h\rightarrow 0}.... [/mm] Stell Dir zum Beispiel zwei Punkte A und X auf einer Kurve vor und ziehe durch die Punkte eine Grade...wenn Du jetzt langsam mit x den Punkt X weiter auf A zubewegst, ändert sich üblicherweise die Steigung dieser Grade und wenn du bei A angekommen bist, hast Du die Steigung im Punkt A gefunden. Dabei muss der Greunzwert betrachtet werden, da (x-a) im Nenner immer näher gegen 0 geht. bei (x+h) ist es ganz ähnlich, nur anders formuliert. Dann ist Dein Punkt A zb (x,f(x)) und X(x+h(f(x+h)) und du kannst statt [mm] \limes_{x+h\rightarrow x} [/mm] schreiben [mm] \limes_{h\rightarrow 0}, [/mm] im Nenner steht statt "(x + h - x)" nur noch "h". Die Formulierungen gehen also auseinander hervor, welche Du benutzen willst bleibt Dir überlassen.
Den einseitigen Limes verwenden ("einseitig limen" ;) ) heisst, dass Du Dich der Null zum Beispiel nur aus dem positiven Zahlenbereich annäherst.
Schau Dir die Ableitungen und Funktionen nochmal genau an...f'(0) ist zB [mm] \not=0 [/mm] und [mm] \limes_{x\rightarrow 0+} [/mm] g'(x) (der rechtsseitige limes) ist
[mm] \limes_{x\rightarrow O+} \bruch{1}{2*\wurzel{x}} \not=0 [/mm] sowie ich das grad seh...
Grüsse
Martin
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:01 Do 07.07.2005 | | Autor: | Max |
Hallo Becks,
du hast noch nix zur Funktion $f$ gesagt, ist da alles klar?
Die angegebenen Funktionen bestehen ja zwei Funktionen die zusammengesetzt werden. Jede Funktion für sich ist in ihrem Intervall stetig und differenzierbar, deshalb kannst du dort die Ableitung auch mit den üblichen Regeln bestimmen. Die kritische Stelle ist jeweils die, an der die beiden Funktionen in einander übergehen - dort musst du untersuchen, ob die Funktionswerte gleich sind (für die Stetigkeit an der Nahtstelle) und ob die Steigung gleich sind (Differenzierbarkeit an der Nahtstelle).
Ich zeig mal mit $g$ was gemeint ist. Die beiden Funktionen nenne ich [mm] $g_1(x)=\sqrt{x}+1$ [/mm] und [mm] $g_2(x)=\sqrt{1-x}$.
[/mm]
Wegen [mm] $\lim_{x \to 0}g_1(x)=1=\lim_{x \to 0}g_2(x)$ [/mm] ist die zusammengesetze Funktion an der Stelle [mm] $x_0=0$ [/mm] stetig (hierbei wird für [mm] $g_1$ [/mm] der Grenzwert von rechts und für [mm] $g_2$ [/mm] der Grenzwert von links untersucht).
Tatsächlich muss man jetzt auch die Differenzierbarkeit nicht über [mm] $f'(x_0)=\lim_{x \to x_0}\frac{f(x_0)-f(x)}{x_0-x}$ [/mm] nachweisen, sondern es reicht, wenn man wiederum die Steigung der einzelen Funktionen an der Stelle [mm] $x_0=0$ [/mm] untersucht.
Für [mm] $g_2$ [/mm] gilt wegen [mm] $g_2'(x)=-\frac{1}{2\sqrt{1-x}}$ [/mm] dass [mm] $g_2'(0)=-\frac{1}{2}$. [/mm] Für [mm] $g_1$ [/mm] gilt wegen [mm] $g_1'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}$, [/mm] dass der Grenzwert für [mm] $x\to [/mm] 0$ nicht definiert ist. Damit kann die zusammengesetze Funktion $g$ nicht an der Stelle [mm] $x_0=0$ [/mm] differenzierbar sein.
Das Ergebnis ist nicht verwunderlich, da [mm] $\sqrt{x}+1$ [/mm] wie die Wurzelfunktion an der Stelle $0$ senkrecht nach oben startet.
Bei der Funktion $h$ kannst du ähnlich argumentieren, du musst nur bei den Grenzwerten von [mm] $\cos\left(\frac{1}{x}\right)$ [/mm] und [mm] $\sin\left(\frac{1}{x}\right)$ [/mm] ausfassen.
Achso, deine Ableitungen sind jeweils richtig! ![[applaus]](/images/smileys/applaus.gif "[applaus]")
Gruß Max
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:24 Do 07.07.2005 | | Autor: | Becks |
Danke für deine Antwort. :)
Bei der Funktion f(x) := acrtan(x) bin ich mir tatsächlich unsicher. Ich kann mir da nicht soviel darunter vorstellen. Die Ableitungen hatten wir mal gemacht, aber über die Differenzierbarkeit weiß ich nichts. Hmm.
Die müsste doch überall differenzierbar sein oder?
bei der h weiß ich auch nicht so Recht. Ich müsste doch dann zeigen, dann h(x) = [mm] x*(1+2x*sin(\bruch{1}{x}) [/mm] = 0 ist oder? Aber wenn ich den Sinus auflöse, habe ich immernoch ein [mm] \bruch{1}{x}. [/mm] kriege ich das weg?
Dann gebe ich nur die Gleichungen der Geraden an, die differenzierbar sind?
Vielen Dank für deine Hilfe
Becks
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:20 Do 07.07.2005 | | Autor: | Hexe |
> Bei der Funktion f(x) := acrtan(x) bin ich mir tatsächlich
> unsicher. Ich kann mir da nicht soviel darunter vorstellen.
> Die Ableitungen hatten wir mal gemacht, aber über die
> Differenzierbarkeit weiß ich nichts. Hmm.
> Die müsste doch überall differenzierbar sein oder?
Na du musst dir nur überlegen ob die Ableitung irgendwo Definitionslücken hat. Denn bei ner gechlossen definierten Funktion ist das das einzige was sein kann
>
> bei der h weiß ich auch nicht so Recht. Ich müsste doch
> dann zeigen, dann h(x) = [mm]x*(1+2x*sin(\bruch{1}{x})[/mm] = 0 ist
> oder? Aber wenn ich den Sinus auflöse, habe ich immernoch
> ein [mm]\bruch{1}{x}.[/mm] kriege ich das weg?
also h(x) ist sowiso 0 da 0*(...)=0 egal was in der Klammer (das [mm] \bruch{1}{x} [/mm] stört dabei wenig weil der Sinus ja beschränkt ist) steht.
Was man aber eigentlich untersuchen muss ist
[mm] \lim_{x\rightarrow 0} [/mm] h'(x) und das ist schwieriger weil für [mm] \lim_{x\rightarrow 0} 1+2cos\bruch{1}{x} [/mm] der cos osziliert allerdings ist da ja noch die 1 und insgesamt würde ich sagen ist es deswegen [mm] \not=0 [/mm] also nicht differenzierbar
Grüße Hexe
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