Ableitungen von Brüchen und ln < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:41 So 12.09.2010 | | Autor: | low_head |
| Aufgabe | | Keine direkte Aufgabe vorhanden. |
Hallo
Ich hab einfach ein Verständnisproblem.
Wie die Ableitung funktioniert ist mir klar..
f(x)=2x²
f'(x) = 4x
f''(x) = 4
aber bei Brüchen ist es jah anders.. wieso?
genau wie bei ln.
Kann mir jemand eine genaue Erklärung geben?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:52 So 12.09.2010 | | Autor: | abakus |
> Keine direkte Aufgabe vorhanden.
> Hallo
>
> Ich hab einfach ein Verständnisproblem.
> Wie die Ableitung funktioniert ist mir klar.
Möglicherweise nicht.
Ableiten funktioniert so, dass man den Grenzwert von [mm] \bruch{f(x+h)-f(x)}{h} [/mm] für h gegen Null bildet.
Nun ergibt es sich zufälligerweise, dass für eine ganz primitive Klasse ganz einfacher Funktionen (ich meine Funktionen vom Typ [mm] f(x)=x^n) [/mm] sich aus dieser Grenzwertbildung eine ganz simple Regel ergibt [mm] (f'(x)=n*x^{n-1}).
[/mm]
Eben diese Regel funktioniert nur für diese Klasse von Funktionen.
Wenn du andere Funktionen hast, kannst du dort natürlich NICHT die Regel für Potenzfunktionen anwenden, sondern musst schlimmstenfalls über die Grenzwertbildung gehen.
Es ist also absolut kein Grund zum Klagen, dass man sogar für Bruchterme Ableitungsregeln gefunden hat (die natürlich nur für eben diese Fälle gelten).
Sei froh, dass es auch für andere spezielle Funktionstypen spezielle (wenn auch nicht ganz so simple) Regeln gibt, die dir den mühsamen Weg über den Grenzwert des Differenzenquotienten ersparen.
Gruß Abakus
>
> f(x)=2x²
> f'(x) = 4x
> f''(x) = 4
>
> aber bei Brüchen ist es jah anders.. wieso?
> genau wie bei ln.
>
> Kann mir jemand eine genaue Erklärung geben?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:58 So 12.09.2010 | | Autor: | uliweil |
Hallo low_head,
Deine Frage ist etwa so, also ob in der Grundschule jemand fragt warum Dividieren anders geht als Addieren.![[ohwell]](/images/smileys/ohwell.gif "[ohwell]")
Aber trotzdem einige Bemerkungen:
Die Ableitungsregeln, die Du beim Differenzieren von Polygonen (=ganzrationale Funktionen, wie Du sie in Deinem Beispiel genannt hast) verwendest, wurden (hoffentlich) aus der grundlegenden Definition der Differentiation nämlich dem Differentialquotienten hergeleitet. Du brauchst in Deinem Beispiel zwei Regeln:
1. (c*f(x))' = c*f'(x), also die Ableitung mit einem konstanten mulitplikativen Faktor und
2. [mm] (x^{n})' [/mm] = [mm] n*x^{n-1}, [/mm] also, wie eine Potenz abgeleitet wird.
Nebenbemerkung: Für kompliziertere ganzrationale Funktionen braucht man auch noch die Regel für die Ableitung der Addition (und Subtraktion) von zwei Funktionen, die einfach ausgedrückt ein summandenweises Ausführen der Ableitung erlauben (f(x) + g(x))' = f'(x) + g'(x).
Für den Quotienten oder auch das Produkt zweier Funktionen gibt es auch je eine Ableitungsregel, eben die Quotientenregel und die Produktregel, die aber nicht mehr so einfach wie die zur Addition oder Subtraktion sind.
Wer's nicht glaubt, probiert es einfach aus: Betrachte die Funktion f(x) = x, da ist f'(x) = 1. Jetzt schauen wir uns f(x)*f(x) an. Wenn das Ableiten wie bei der Addition ginge, also = f'(x) * f'(x), dann käme hier ja 1*1 = 1 heraus. Aber wir wissen, dass f(x)*f(x) = x*x = [mm] x^{2} [/mm] ist und das ergibt abgeleitet 2*x und nicht etwa 1! Ähnliche einfache Beispiel kannst Du Dir für den Quotienten zweier Funktionen machen.
Nun noch zu ln(x). Der Logarithmus hat wie viele andere Funktionen (z.B. sin, cos, tan, cot, die Exponentialfunktion [mm] e^{x}, [/mm] usw.) seine eigene Ableitungsregel (ln(x))' = 1/x, die wie alle anderen Regeln im Grunde auch aus dem Differentialquotienten hergeleitet werden müssen.
Gruß
Uli
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