Ableitungen von Funktionen < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:57 Mi 22.10.2008 | | Autor: | xsara |
| Aufgabe | Bilden Sie die Ableitung [mm] f´(x)\equiv\bruch{df(x)}{dx} [/mm] folgender Funktionen:
a) [mm] f(x)=\bruch{1}{2}x^{4}+\bruch{1}{6}x^{3}-x^{2}+2x-17
[/mm]
b) [mm] f(x)=^3\wurzel{ax^{3}+2bx-c}
[/mm]
c) [mm] f(x)=\bruch{x^{3}}{cos(x)}
[/mm]
d) [mm] f(x)=x^{2}tan(x)
[/mm]
e) [mm] f(x)=x^{2,5}e^{x}
[/mm]
f) [mm] f(x)=ln(x)log_{10}(x/2) [/mm] |
Wahrscheinlich handelt es sich bei den Aufgaben um recht einfache Aufgaben. Dazu habe ich mir überlegt, dass man die Aufgaben evtl. folgendermaßen lösen kann:
a) Anwendung der Summenregel
[mm] f´(x)=2x^{3}+\bruch{1}{2}x^{2}-2x+2
[/mm]
b) Anwendung der Kettenregel
[mm] y(t)=t^{\bruch{1}{3}} y'(t)=\bruch{1}{3}t^{-\bruch{2}{3}}
[/mm]
[mm] t(x)=ax^{3}+2bx-c t'(x)=3ax^{2}+2b
[/mm]
[mm] f'(x)=\bruch{1}{3}(ax^{3}+2bx-c)^{-\bruch{2}{3}}(3ax^{2}+2b)
[/mm]
[mm] =\bruch{3ax^{2}+2b}{3\*^{3}\wurzel(ax^{3}+2bx-c)^{2}}
[/mm]
c) Anwendung der Quotientenregel
[mm] u(x)=x^{3} u'(x)=3x^{2}
[/mm]
v(x)=cos(x) v'(x)=-sin(x)
[mm] f'(x)=\bruch{3x^{2}(-sin(x))-x^{3}cos(x)}{cos^{2}(x)}
[/mm]
d) Anwendung der Produktregel
[mm] u=x^{2} [/mm] u'(x)=2x
v=tan(x) [mm] v'(x)=\bruch{1}{cos^{2}(x)}
[/mm]
[mm] f'(x)=2x\bruch{sin(x)}{cos(x)}+x^{2}\bruch{1}{cos^{2}(x)}
[/mm]
e) Anwendung der Produktregel
[mm] u=x^{2,5} u'(x)=2,5x^{1,5}
[/mm]
[mm] v=e^{x} v'(x)=e^{x}
[/mm]
[mm] f'(x)=2,5x^{1,5}e^{x}+x^{2,5}e^{x}
[/mm]
f) Anwendung der Produktregel
u=ln(x) [mm] u'(x)=\bruch{1}{x}
[/mm]
[mm] v=log_{10}(x/2) [/mm] v'(x)=
Sind die Aufgaben a-e richtig gelöst? Kann man irgendwelche Kniffe anwenden?
Kann mir jemand mit der Ableitung von [mm] log_{10}(x/2) [/mm] weiterhelfen?
Vielen Dank!
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:08 Mi 22.10.2008 | | Autor: | Sigrid |
Hallo xsara,
> Bilden Sie die Ableitung [mm]f´(x)\equiv\bruch{df(x)}{dx}[/mm]
> folgender Funktionen:
> a) [mm]f(x)=\bruch{1}{2}x^{4}+\bruch{1}{6}x^{3}-x^{2}+2x-17[/mm]
> b) [mm]f(x)=^3\wurzel{ax^{3}+2bx-c}[/mm]
> c) [mm]f(x)=\bruch{x^{3}}{cos(x)}[/mm]
> d) [mm]f(x)=x^{2}tan(x)[/mm]
> e) [mm]f(x)=x^{2,5}e^{x}[/mm]
> f) [mm]f(x)=ln(x)log_{10}(x/2)[/mm]
> Wahrscheinlich handelt es sich bei den Aufgaben um recht
> einfache Aufgaben. Dazu habe ich mir überlegt, dass man die
> Aufgaben evtl. folgendermaßen lösen kann:
>
> a) Anwendung der Summenregel
> [mm]f´(x)=2x^{3}+\bruch{1}{2}x^{2}-2x+2[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> b) Anwendung der Kettenregel
> [mm]y(t)=t^{\bruch{1}{3}} y'(t)=\bruch{1}{3}t^{-\bruch{2}{3}}[/mm]
>
> [mm]t(x)=ax^{3}+2bx-c t'(x)=3ax^{2}+2b[/mm]
>
> [mm]f'(x)=\bruch{1}{3}(ax^{3}+2bx-c)^{-\bruch{2}{3}}(3ax^{2}+2b)[/mm]
>
> [mm]=\bruch{3ax^{2}+2b}{3\*^{3}\wurzel(ax^{3}+2bx-c)^{2}}[/mm]
>
> c) Anwendung der Quotientenregel
> [mm]u(x)=x^{3} u'(x)=3x^{2}[/mm]
> v(x)=cos(x)
> v'(x)=-sin(x)
> [mm]f'(x)=\bruch{3x^{2}(-sin(x))-x^{3}cos(x)}{cos^{2}(x)}[/mm]
Hier stimmt was nicht. Die Quotientenregel lautet doch:
$ f'(x) = [mm] \bruch{v\ u' - u\ v'}{v^2} [/mm] $
>
> d) Anwendung der Produktregel
> [mm]u=x^{2}[/mm] u'(x)=2x
> v=tan(x) [mm]v'(x)=\bruch{1}{cos^{2}(x)}[/mm]
>
> [mm]f'(x)=2x\bruch{sin(x)}{cos(x)}+x^{2}\bruch{1}{cos^{2}(x)}[/mm]
>
Du könntest höchstens noch das Ergebnis in einen Bruch umwandeln.
> e) Anwendung der Produktregel
> [mm]u=x^{2,5} u'(x)=2,5x^{1,5}[/mm]
> [mm]v=e^{x} v'(x)=e^{x}[/mm]
>
> [mm]f'(x)=2,5x^{1,5}e^{x}+x^{2,5}e^{x}[/mm]
Hier könntest Du noch $ [mm] x^{1,5} \cdot e^x [/mm] $ ausklammern.
>
> f) Anwendung der Produktregel
> u=ln(x) [mm]u'(x)=\bruch{1}{x}[/mm]
> [mm]v=log_{10}(x/2)[/mm] v'(x)=
> Sind die Aufgaben a-e richtig gelöst? Kann man irgendwelche
> Kniffe anwenden?
> Kann mir jemand mit der Ableitung von [mm]log_{10}(x/2)[/mm]
> weiterhelfen?
Denk an die Gleichung $ [mm] \lg [/mm] x = [mm] \bruch{\ln x}{\ln10} [/mm] $
Gruß
Sigrid
>
>
> Vielen Dank!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 07:37 Fr 24.10.2008 | | Autor: | xsara |
Zu c) müsste die Lösung doch dann wie folgt lauten:
[mm] f'(x)=\bruch{3^{2}cosx-x^{3}(-sinx)}{cos^{2}x}
[/mm]
Stimmt das?
Bei f) bin ich mir gar nicht sicher.
[mm] f(x)=lnxlog_{10}(\bruch{x}{2})=lnx\bruch{log_{10}x}{log_{10}2}=\bruch{1}{log_{10}2ln10}lnxlnx
[/mm]
[mm] f'(x)=\bruch{1}{log_{10}2ln10}\bruch{1}{x}\bruch{1}{x}=bruch{1}{log_{10}2ln10}\bruch{1}{x^{2}}
[/mm]
Vielen Dank fürs Nachrechnen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:51 Fr 24.10.2008 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Außer dem vergessenen x [mm] (3\red{x}²) [/mm] stimmt c)! Und du kannst noch Minus und Minus im Zähler zu Plus zusammenfassen.
Und hier kannst du, wie schon gesagt wurde, folgendes verwenden:
[mm] log_{10}x=\bruch{lnx}{ln10}
[/mm]
In deinem Fall müsstest du nur statt x dann [mm] \bruch{x}{2} [/mm] einsetzen! Du hast da irgendwie was vertauscht. :)
Das schaffst du schon noch!
Eventuell hilft dir auch noch, dass [mm] ln\bruch{a}{b}=lna-lnb [/mm] ist.
![[anon]](/images/smileys/anon.png "[anon]") Teufel
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