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Forum "Exp- und Log-Funktionen" - Ableitungen von Funktionen
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Ableitungen von Funktionen: Hilfestellung
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:23 Mi 01.04.2009
Autor: f4b

Aufgabe
Bilden Sie die jeweils die 1. und 2. Ableitung zu folgenden Funktionen:

a) f(x) = ln (x²) / x
b) f(x) = ln (2x - 1)
c) f(x) = ln ((x - 1)²)

Nun meine Lösungsvorschläge:

Bei a) Habe ich die Produktregel (f'(x) = u'(x) *v(x) + u(x) * v'(x) ) angewandt, da die Funktion ja dasselbe ist wie f(x) = ln [mm] (x^2) [/mm] * x^-1 . Dann habe ich:
f'(x) = ln [mm] (x^2)*(-1)x^-2 [/mm] + 2/x * x^-1
       = ln [mm] (x^2) [/mm] * [mm] 1/x^2 [/mm] + [mm] 2/x^2 [/mm]
       = [mm] 1/x^2 [/mm] * [mm] (ln(x^2) [/mm] + 2)

Kann mir das wer bestätigen, wenn nein, wo liegt der Fehler?

Bei b und c weiß ich nicht mehr wie ich vorgehen soll. Einfach ausmultiplizieren oder wie? Könnte das einer teilweise mal anfangen zu rechnen, damit ich einen Einblick gewinnen könnte.

MfG
        
Bezug
Ableitungen von Funktionen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:36 Mi 01.04.2009
Autor: Tyskie84

Hallo,

> Bilden Sie die jeweils die 1. und 2. Ableitung zu folgenden
> Funktionen:
>  
> a) f(x) = ln (x²) / x
>  b) f(x) = ln (2x - 1)
>  c) f(x) = ln ((x - 1)²)
>  Nun meine Lösungsvorschläge:
>  
> Bei a) Habe ich die Produktregel (f'(x) = u'(x) *v(x) +
> u(x) * v'(x) ) angewandt, da die Funktion ja dasselbe ist
> wie f(x) = ln [mm](x^2)[/mm] * x^-1 .

[ok]

Dann habe ich:
>  f'(x) = ln [mm](x^2)*(-1)x^-2[/mm] + 2/x * x^-1 [daumenhoch]
>         = ln [mm](x^2)[/mm] * [mm] \red{-}[/mm] [mm]1/x^2[/mm] + [mm]2/x^2[/mm] [notok] hier hast du das Minus-Zeichen verschludert
>         = [mm]1/x^2[/mm] * [mm](\red{-}ln(x^2)[/mm] + [mm] 2)=\bruch{1}{x²}\cdot(2-ln(x²)) [/mm]
>  
> Kann mir das wer bestätigen, wenn nein, wo liegt der
> Fehler?
>
> Bei b und c weiß ich nicht mehr wie ich vorgehen soll.
> Einfach ausmultiplizieren oder wie? Könnte das einer
> teilweise mal anfangen zu rechnen, damit ich einen Einblick
> gewinnen könnte.

Wende hier die Kettenregel an. Dabei ist das bei [mm] \\ln(2x-1) [/mm] der Logarithmus die äußere Funktion [mm] \\u [/mm] und (2x-1) die innere Funktion [mm] \\v. [/mm] Dann nach [mm] \\f'(x)=u'(v)\cdot\\v' [/mm] berechnen. Bei der dritten Funktion entsprechend. :-)


>  
> MfG

[hut] Gruß
Bezug
                
Bezug
Ableitungen von Funktionen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:15 Mi 01.04.2009
Autor: f4b

Also schon mal vielen Dank :)
Bei a) fehlt mir jetzt noch die 2. Ableitung, da bekomme ich das nicht ganz hin.

Dafür habe ich bei b und c jetzt alle Ableitungen, nämlich:
b) f'(x) = 2/2x-1
    f''(x) dann mithilfe der quotientenregel = -4/ [mm] (2x-1)^2 [/mm]

c) f'(x) = [mm] 1/ln(x^2-2x+1) [/mm] = [mm] 2x-2/x^2-2x+1 [/mm]
    f''(x) wieder mithilfe der quotientenregel
          ->  [mm] (2*(x^2-2x+1)-2x-2*(2x-2)) /(x^2-2x+1)^2 [/mm]
           = [mm] (6-6x)/(x^2-2x+1) [/mm]

ich hoffe mal, dass es soweit richtig ist oder darf ich das auch noch kürzen?
Wie gesagt f''(x) bei a) fehlt mir noch.

Aber erstmal vielen Dank an dich !
Bezug
                        
Bezug
Ableitungen von Funktionen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:35 Mi 01.04.2009
Autor: Tyskie84

Hallo,

> Also schon mal vielen Dank :)
>  Bei a) fehlt mir jetzt noch die 2. Ableitung, da bekomme
> ich das nicht ganz hin.
>  

dann zeig mal was du bis jetzt hast :-)

> Dafür habe ich bei b und c jetzt alle Ableitungen,
> nämlich:
>  b) f'(x) = 2/2x-1 [daumenhoch]
> f''(x) dann mithilfe der quotientenregel = -4/ [mm](2x-1)^2[/mm] [daumenhoch]
>  
> c) f'(x) = [mm]1/ln(x^2-2x+1)[/mm] = [mm]2x-2/x^2-2x+1[/mm] [daumenhoch]

Du kannst dir aber Arbeit ersparen wenn du rechtzeitig kürzt :-)

Schau: [mm] \bruch{2x-2}{x²-2x+1}=\bruch{2(x-1)}{(x-1)²}=\bruch{2}{x-1} [/mm]
>      f''(x) wieder mithilfe der quotientenregel
> ->  [mm](2*(x^2-2x+1)-\red{(}2x-2\red{)}*(2x-2)) /(x^2-2x+1)^2[/mm]

>             =
> [mm](6-6x)/(x^2-2x+1)[/mm]

hier ist was schief gelaufen. Schau mal ich hab da Klammern eingefügt wo ich denke das du die vergessen hast zu setzen.

[mm] \bruch{2(x²-2x+1)-(2x-2)(2x-2)}{(x²-2x+1)²}=\bruch{2(x²-2x+1)-(4x²-8x+4)}{(x²-2x+1)²}=\bruch{2(x²-2x+1)-4(x²-2x+1)}{(x²-2x+1)²}=\bruch{-2}{x²-2x+1}=\bruch{-2}{(x-1)²} [/mm]
>  
> ich hoffe mal, dass es soweit richtig ist oder darf ich das
> auch noch kürzen?

Ein Tip möchte ich dir noch geben. Ich würde nicht (x-1)² und der gleichen ausmultiplizieren sondern es so lassen das spart schreibarbeit. Und immer schauen ob man kürzen kann. Bei der 1. Ableitung konnte man es und du wärst durch Umschreibung dann direkt auf die 2. Ableitung gekommen ohne die Quotientenregel anwenden zu müssen.

>  Wie gesagt f''(x) bei a) fehlt mir noch.
>  

Da hatten wir ja [mm] \bruch{1}{x²}(2-ln(x²)). [/mm] Wennde hier die Produktregel an.

> Aber erstmal vielen Dank an dich !

[hut] Gruß
Bezug
                                
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Ableitungen von Funktionen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:55 Mi 01.04.2009
Autor: f4b

So, habe alles soweit richtig gerechnet (zum testen auch mal f'''(x) ).

Bei a) habe ich für f''(x) = 1/2x * [mm] (2-ln(x^2)) [/mm] + [mm] 1/x^2 [/mm] * 2/x
                                     = 1/2x * [mm] (2-ln(x^2)) [/mm] + [mm] 2/x^3 [/mm]
                                    
         da war ich mir dann nicht sicher, ob ich das noch weiter zusammen-
         fassen kann in: 2/2x - [mm] ln(x^2)/2x [/mm] + [mm] 2/x^3 [/mm] = [mm] (2-ln(x^2))/2x [/mm] + [mm] 2/x^3 [/mm]

Und dann nochmal so nebenbei gefragt: Angenommen ich möchte Extremstellen und Wendepunkte bestimmen. Gibt es automatisch immer ein Maximum und Minimum, wovon ist das abhängig?

Und wie stelle ich bspw. die mit 0 gleichgesetzte Gleichung nach x um:
0=2/2x-1 bzw. in c) 0=2/x-1 ? (Habe da Probleme mit, weil das x im Nenner steht).

Das ist es dann auch wirklich, was ich heute noch wissen möchte ;)

Herzliche Grüße
Bezug
                                        
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Ableitungen von Funktionen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:21 Mi 01.04.2009
Autor: leduart

Hallo
Noch eine Ergaenzung, fuer [mm] ln(x^2) [/mm] oder [mm] ln((x-1)^2) [/mm]
sowas differenziert sich ohne Kettenregel schneller, wenn man verwendet [mm] lna^2=2*lna [/mm] also etwa  [mm] ln((x-1)^2)=2*ln(x-1) [/mm]
Zu Nullstellen: ein Bruch ist 0, wenn der Zaehler 0 ist (ausser wenn der Nenner gleichzeitig 0 ist.
also 2/(x-1)=0 hat keine Loesung.
wenn du hast 2/x - 1=) auf den HN bringen also (2-x)/x=0 2-x=0 x=2
Gruss leduart
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