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| Aufgabe | Der Graph der Funktion f berüht die x-Achse im Punkt P (2/0).
a) Zeigen Sie, dass dann auch der Graph der Funktion g mit g(x)= x * f(x) die x-Achse im Punkt P berührt.
b) Wenn P ein Hochpunkt des Graphen von f ist mit f''(x)<2, ist dann P auch ein Hochpunkt des Graphen von g?
c) Was ändert sich in a) bzw. b), wenn der Berührpunkt P die Koordinaten P(-2/0) hat? |
Also ich komme da irgendwie nicht weiter, habe bisher:
f(2)=0
f'(2)=0
f''(2) |= 0
g(2)= 0
g'(2)=0
g''(2) |= 0
und g'(x)=x*f'(x)+f(x)
wie ich jetzt allerdings die zweite ableitung von g machen soll und was ich mit den sachen da oben machen kann, weis ich leider auch nicht.
Damit g(2)=0 muss ja auch f(2)=0, weil x ja 2 ist und g(x)=x*f(x). Aber das ist ja gegeben (s.o).
Ist das schon die Lösung für a)???
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:09 Mo 08.09.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Der Graph der Funktion f berüht die x-Achse im Punkt P
> (2/0).
> a) Zeigen Sie, dass dann auch der Graph der Funktion g mit
> g(x)= x * f(x) die x-Achse im Punkt P berührt.
> b) Wenn P ein Hochpunkt des Graphen von f ist mit
> f''(x)<2, ist dann P auch ein Hochpunkt des Graphen von g?
> c) Was ändert sich in a) bzw. b), wenn der Berührpunkt P
> die Koordinaten P(-2/0) hat?
> Also ich komme da irgendwie nicht weiter, habe bisher:
> f(2)=0
> f'(2)=0
> f''(2) |= 0
Soll das heissen [mm] f''(x)\ne0 [/mm] ?
> g(2)= 0
> g'(2)=0
> g''(2) |= 0
>
> und g'(x)=x*f'(x)+f(x)
>
> wie ich jetzt allerdings die zweite ableitung von g machen
> soll und was ich mit den sachen da oben machen kann, weis
> ich leider auch nicht.
Da f(x) die x-Achse in P(2/0) berührt, gilt:
f(2)=0
f'(2)=0
und [mm] f''(2)\ne0
[/mm]
Jetzt nimm dir mal g(x)=x*f(x) her
g'(x)=x*f'(x)+1*f(x)
Jetzt berechne mal g(2)=2*f(2) und da f(2)=0 ist auch g(2)=2*0=0
g'(2)=2*f'(2)+1*f(2)=2*0+1*0=0
Jetzt bestimme mal g''(x)=(x*f''(x)+1*f'(x))+f'(x)
Also g''(2)=2*f''(2)+f'(2)+f'(2) (Und, Kann das 0 werden?)
> Damit g(2)=0 muss ja auch f(2)=0, weil x ja 2 ist und
> g(x)=x*f(x). Aber das ist ja gegeben (s.o).
> Ist das schon die Lösung für a)???
Das war schon gut, du hast nur oft die Voraussetzungen und die Folgerungen vertauscht.
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Zu b) Was kannst du über
g(2), g'(2) und g''(2) sagen, wenn f''(2)<2?
zu c) Rechne das ganze dann nochmal mit -2 durch, dann vertauschen sich ja einige Vorzeichen. Was hat das für Konsequenzen?
Marius
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Hallo
> Der Graph der Funktion f berüht die x-Achse im Punkt P
> (2/0).
> a) Zeigen Sie, dass dann auch der Graph der Funktion g mit
> g(x)= x * f(x) die x-Achse im Punkt P berührt.
> b) Wenn P ein Hochpunkt des Graphen von f ist mit
> f''(x)<2, ist dann P auch ein Hochpunkt des Graphen von g?
> c) Was ändert sich in a) bzw. b), wenn der Berührpunkt P
> die Koordinaten P(-2/0) hat?
> Also ich komme da irgendwie nicht weiter, habe bisher:
> f(2)=0
> f'(2)=0
> f''(2) |= 0
Soll das heissen $ [mm] f''(x)\ne0 [/mm] $ ?
ja, soll das heißen, wusste nur nicht, wie ich das sonst ausdrücken sollte, weil ich die Symbole unten erst hinterher gesehen hab...sry, ist meine erste Frage
> g(2)= 0
> g'(2)=0
> g''(2) |= 0
>
> und g'(x)=x*f'(x)+f(x)
>
> wie ich jetzt allerdings die zweite ableitung von g machen
> soll und was ich mit den sachen da oben machen kann, weis
> ich leider auch nicht.
Da f(x) die x-Achse in P(2/0) berührt, gilt:
f(2)=0
f'(2)=0
und $ [mm] f''(2)\ne0 [/mm] $
Jetzt nimm dir mal g(x)=x*f(x) her
g'(x)=x*f'(x)+1*f(x)
Jetzt berechne mal g(2)=2*f(2) und da f(2)=0 ist auch g(2)=2*0=0
ja, das hatte ich ja sogar schon fast...
g'(2)=2*f'(2)+1*f(2)=2*0+1*0=0
ja, das is dann auch logisch 
Jetzt bestimme mal g''(x)=(x*f''(x)+1*f'(x))+f'(x)
Also g''(2)=2*f''(2)+f'(2)+f'(2) (Und, Kann das 0 werden?)
Nee, das kann nicht 0 werden, weil ja f''(2)<0 und das wird ja mit 2 multipliziert, also ist g''(2)<0, weil der Rest ja 0 ergibt. Damit wäre ja dann schon bewiesen, dass der Graph von g die x-Achse im Punkt P(2/0) berührt, oder?
> Damit g(2)=0 muss ja auch f(2)=0, weil x ja 2 ist und
> g(x)=x*f(x). Aber das ist ja gegeben (s.o).
> Ist das schon die Lösung für a)???
Das war schon gut, du hast nur oft die Voraussetzungen und die Folgerungen vertauscht.
Ja, also so wie oben: Man weiß f(2)=0, also g(2)=2*f(2)=2*0=0, damit wäre ja dann bewiesen, dass g auch durch P(2/0) geht.
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Zu b) Was kannst du über
g(2), g'(2) und g''(2) sagen, wenn f''(2)<2?
Auf g(2) und g'(2) hat f''(2) <0 ja keine auswirkungen, aber wie oben schon gesagt, ist g''(2)dann auch <0. g(2) und g'(2) sind beide =0!
zu c) Rechne das ganze dann nochmal mit -2 durch, dann vertauschen sich ja einige Vorzeichen. Was hat das für Konsequenzen?
für a) keine, weil ja auch f(-2)= 0 und f'(-2)=0, also ist das hier unrelevant, ob da n - vorsteht oder nicht, stimmt das so?
und bei b) ändert das -2 das vorzeichen von g''(x), was dann >0 und somit kein Hoch- sondern ein Tiefpunkt ist.
Hoffe das is jetzt so einigermaßen richtig. Danke für die Hilfe, glaube jetzt habe ich das verstanden
Marius
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:12 Mo 08.09.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Hallo
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> > Der Graph der Funktion f berüht die x-Achse im Punkt P
> > (2/0).
> > a) Zeigen Sie, dass dann auch der Graph der Funktion g
> mit
> > g(x)= x * f(x) die x-Achse im Punkt P berührt.
> > b) Wenn P ein Hochpunkt des Graphen von f ist mit
> > f''(x)<2, ist dann P auch ein Hochpunkt des Graphen von
> g?
> > c) Was ändert sich in a) bzw. b), wenn der Berührpunkt
> P
> > die Koordinaten P(-2/0) hat?
> > Also ich komme da irgendwie nicht weiter, habe bisher:
> > f(2)=0
> > f'(2)=0
> > f''(2) |= 0
>
> Soll das heissen [mm]f''(x)\ne0[/mm] ?
>
> ja, soll das heißen, wusste nur nicht, wie ich das sonst
> ausdrücken sollte, weil ich die Symbole unten erst
> hinterher gesehen hab...sry, ist meine erste Frage
>
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> > g(2)= 0
> > g'(2)=0
> > g''(2) |= 0
> >
> > und g'(x)=x*f'(x)+f(x)
> >
> > wie ich jetzt allerdings die zweite ableitung von g machen
> > soll und was ich mit den sachen da oben machen kann,
> weis
> > ich leider auch nicht.
>
> Da f(x) die x-Achse in P(2/0) berührt, gilt:
>
> f(2)=0
> f'(2)=0
> und [mm]f''(2)\ne0[/mm]
>
> Jetzt nimm dir mal g(x)=x*f(x) her
> g'(x)=x*f'(x)+1*f(x)
>
> Jetzt berechne mal g(2)=2*f(2) und da f(2)=0 ist auch
> g(2)=2*0=0
>
> ja, das hatte ich ja sogar schon fast...
>
> g'(2)=2*f'(2)+1*f(2)=2*0+1*0=0
>
> ja, das is dann auch logisch
>
> Jetzt bestimme mal g''(x)=(x*f''(x)+1*f'(x))+f'(x)
> Also g''(2)=2*f''(2)+f'(2)+f'(2) (Und, Kann das 0
> werden?)
>
> Nee, das kann nicht 0 werden, weil ja f''(2)<0 und das wird
> ja mit 2 multipliziert, also ist g''(2)<0, weil der Rest ja
> 0 ergibt. Damit wäre ja dann schon bewiesen, dass der Graph
> von g die x-Achse im Punkt P(2/0) berührt, oder?
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
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> > Damit g(2)=0 muss ja auch f(2)=0, weil x ja 2 ist und
> > g(x)=x*f(x). Aber das ist ja gegeben (s.o).
> > Ist das schon die Lösung für a)???
>
> Das war schon gut, du hast nur oft die Voraussetzungen und
> die Folgerungen vertauscht.
>
> Ja, also so wie oben: Man weiß f(2)=0, also
> g(2)=2*f(2)=2*0=0, damit wäre ja dann bewiesen, dass g auch
> durch P(2/0) geht.
Eben
> >
> > Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> > Internetseiten gestellt.
>
>
> Zu b) Was kannst du über
> g(2), g'(2) und g''(2) sagen, wenn f''(2)<2?
>
> Auf g(2) und g'(2) hat f''(2) <0 ja keine auswirkungen,
> aber wie oben schon gesagt, ist g''(2)dann auch <0. g(2)
> und g'(2) sind beide =0!
Soweit korrekt
>
> zu c) Rechne das ganze dann nochmal mit -2 durch, dann
> vertauschen sich ja einige Vorzeichen. Was hat das für
> Konsequenzen?
>
> für a) keine, weil ja auch f(-2)= 0 und f'(-2)=0, also ist
> das hier unrelevant, ob da n - vorsteht oder nicht, stimmt
> das so?
> und bei b) ändert das -2 das vorzeichen von g''(x), was
> dann >0 und somit kein Hoch- sondern ein Tiefpunkt ist.
>
Auch das ist korrekt.
> Hoffe das is jetzt so einigermaßen richtig. Danke für die
> Hilfe, glaube jetzt habe ich das verstanden
>
Super
Marius
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