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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:42 Mo 22.02.2016 | | Autor: | gr5959 |
d/dx e^(ln(2)x
Ich scheitere an dieser Ableitung, einmal weil mir nicht klar ist, was hier bei der Anwendung der Kettenregel als inneres und was als äußeres Glied anzusehen ist.
Zum anderen verwirrt mich, dass Ableitungsrechner.de das Ergebnis
ln(2)e^(ln(2)x)
liefert, WolframAlpha dagegen
2^(x)*ln(2)
Ich sehe nicht, warum diese beide Lösungen äquivalent sein können. GR
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:56 Mo 22.02.2016 | | Autor: | DieAcht |
Hallo gr5959!
> d/dx e^(ln(2)x
Du meinst
[mm] $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}e^{\ln(2)*x}$.
[/mm]
> Ich scheitere an dieser Ableitung, einmal weil mir nicht
> klar ist, was hier bei der Anwendung der Kettenregel als
> inneres und was als äußeres Glied anzusehen ist.
Sei [mm] $f\$ [/mm] differenzierbar. Dann gilt
[mm] $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\exp(f(x))=\exp(f(x))*\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}f(x)$.
[/mm]
> Zum anderen verwirrt mich, dass Ableitungsrechner.de das Ergebnis ln(2)e^(ln(2)x) liefert,
Mit der Ausführung oben solltest du nun sofort darauf kommen.
> WolframAlpha dagegen 2^(x)*ln(2)
> Ich sehe nicht, warum diese beide Lösungen äquivalent sein können. GR
Sei [mm] $\alpha>0$. [/mm] Dann gilt
[mm] $\alpha^x=e^{\ln(\alpha^x)}=e^{x*\ln(\alpha)}$.
[/mm]
Gruß
DieAcht
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> d/dx e^(ln(2)x
> Ich scheitere an dieser Ableitung, einmal weil mir nicht
> klar ist, was hier bei der Anwendung der Kettenregel als
> inneres und was als äußeres Glied anzusehen ist.
Die äußere Funktion ist immer die, die du zuletzt bei der Berechnung durchführen würdest, hier also [mm] e^{irgendwas}. [/mm] Das geht so, dass du zunächst nur die äußere Funktion (also e) ableitst und "irgendwas" unverändert (!) abschreibst. Dann schreibst du * (mal) und leitest noch "irgendwas" ab.
Beispiel, aber nicht mit e, weil das zu einfach und dadurch verwirrend ist. Ich nehme extra ein sehr kompliziertes Beispiel (nämlich mit einer dreifach-Verschachtelung), lass dich nicht abschrecken, du wirst es verstehen, und danach kannst du alles ableiten, was dir per Kettenregel in die Quere kommt!
[mm] f(x)=(6x^5-\wurzel{x^3+x})^3
[/mm]
Letzte Rechnung (äußere Fkt.): Klammer hoch 3
[mm] x^3 [/mm] gibt abgeleitet [mm] 3*x^2, Klammer^3 [/mm] gibt abgeleitet [mm] 3*Klammer^2*Innere [/mm] Ableitung
f'(x)= [mm] 3*(6x^5-\wurzel{x^3+x})^2*innere [/mm] Ableitung
Jetzt musst du noch [mm] 6x^5-\wurzel{x^3+x} [/mm] ableiten.
[mm] (6x^5)'=30 x^4, [/mm] aber was ist [mm] (\wurzel{x^3+x})'?
[/mm]
Ableitung von [mm] \wurzel{x} [/mm] ist [mm] \bruch{1}{2*\wurzel{x}}.
[/mm]
Also ist Ableitung von [mm] \wurzel{x^3+x} [/mm] demnach [mm] \bruch{1}{2*\wurzel{x^3+x}}* [/mm] innere Ableitung von [mm] x^3+x, [/mm] also
[mm] \bruch{1}{2*\wurzel{x^3+x}}*(3x^2+1).
[/mm]
Insgesamt:
f'(x)= [mm] 3*(6x^5-\wurzel{x^3+x})^2*(30 x^4-\bruch{3x^2+1}{2*\wurzel{x^3+x}})
[/mm]
Anderes Beispiel, jetzt mit e. Die Ableitung der Sinus-Funktion ist die Kosinusfunktion (falls ihr das noch nicht hattet):
[mm] f(x)=e^{sin(x^2-x)}.
[/mm]
Dann ist f'(x)= [mm] \underbrace{e^{sin(x^2-x)}}*\underbrace{cos(x^2-x)}*\underbrace{(2x-1)}
[/mm]
e' sin' [mm] (x^2-x)' [/mm] immer das, was danach noch kommt (erst bleibt sin..., dann [mm] x^2-x), [/mm] unverändert lassen!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:46 Di 23.02.2016 | | Autor: | gr5959 |
Vielen Dank! Ihr habt mir alle SEHR geholfen! G.R.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:41 Di 23.02.2016 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> d/dx e^(ln(2)x
> Ich scheitere an dieser Ableitung, einmal weil mir nicht
> klar ist, was hier bei der Anwendung der Kettenregel als
> inneres und was als äußeres Glied anzusehen ist.
dazu wurde Dir schon ein Tipp gegeben. Jetzt eine kleine *Holzhammermethode*:
Du siehst "die beiden Funktionen"
[mm] $f(x)=e^x$
[/mm]
und
[mm] $g(x)=\ln(2)*x$.
[/mm]
Dann wäre
[mm] $g(\;\red{f(x)}\;)=\ln(2)*\red{f(x)}=\ln(2)*\red{e^x}\,.$
[/mm]
Passt nicht...
Im Gegenzug ist
[mm] $f(\;\blue{g(x)}\;)=e^{\blue{g(x)}}=e^{\blue{\ln(2)*x}}\,.$
[/mm]
Also "g ist innen" und "f ist außen"!
> Zum anderen verwirrt mich, dass Ableitungsrechner.de das
> Ergebnis
> ln(2)e^(ln(2)x)
> liefert, WolframAlpha dagegen
> 2^(x)*ln(2)
> Ich sehe nicht, warum diese beide Lösungen äquivalent
> sein können.
Nicht äquivalent, sondern gleich. Das ergibt sich wegen
[mm] $e^{\ln(2)*x}=\left(e^{\ln(2)}\right)^x=2^x$
[/mm]
unter Beachtung von [mm] $e^{\ln(a)}=e^{\log_e(a)}=a$ [/mm] für $a > [mm] 0\,.$ [/mm] Hier speziell [mm] $a=2\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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