Ableitungsproblem < Rationale Funktionen < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:47 Mi 27.06.2007 | | Autor: | Lerche |
| Aufgabe | | Ich möchte die ganze Aufgabestellung hier jetzt nicht hineinposten, da ich denke das selber hinzubekommen. Ich brauche nur etwas Hilfe bei einer Ableitung, da ich nicht weiß wie man es richtig macht. |
Die Funktion lautet [mm] f_{a}(x)=\bruch{x^2-4}{x^2+a}
[/mm]
Durch Polynomdivision kommt man auf die Gleichung [mm] f_{a}(x)=1+\bruch{-4-a}{x^2+a}. [/mm] Sprich das ist ja denn [mm] f_{a}(x)=1+(-4-a)(x^2+a)^{-1}
[/mm]
Mein Problem jetzt ist. Wie leitet man diese Funktion richtig ab?
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> Ich möchte die ganze Aufgabestellung hier jetzt nicht
> hineinposten, da ich denke das selber hinzubekommen. Ich
> brauche nur etwas Hilfe bei einer Ableitung, da ich nicht
> weiß wie man es richtig macht.
> Die Funktion lautet [mm]f_{a}(x)=\bruch{x^2-4}{x^2+a}[/mm]
>
> Durch Polynomdivision kommt man auf die Gleichung
> [mm]f_{a}(x)=1+\bruch{-4-a}{x^2+a}.[/mm]
Ich für meinen Teil würde dies so schreiben [mm]f_a(x)=1-\frac{a+4}{x^2+a}[/mm]
> Sprich das ist ja denn
> [mm]f_{a}(x)=1+(-4-a)(x^2+a)^{-1}[/mm]
>
> Mein Problem jetzt ist. Wie leitet man diese Funktion
> richtig ab?
Den ursprünglichen Funktionsterm hätte man nach der Quotientenregel
[mm]\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u' v-u v'}{v^2}[/mm]
abgeleitet. In der Form, die Du nach der Polynomdivision hast, genügt ein Spezialfall der Quotientenregel, die "Reziprokenregel":
[mm]\left(\frac{1}{v}\right)'=-\frac{v'}{v^2}[/mm]
Die Konstante 1 verschindet beim Ableiten natürlich, es genügt also die Reziprokenregel auf [mm]-\frac{a+4}{x^2+a}=-(a+4)\cdot \frac{1}{x^2+a}[/mm] anzuwenden:
[mm]f'_a(x)=-(a+4)\cdot \left(-\frac{2x}{(x^2+a)^2}\right) = \frac{2(a+4)x}{(x^2+a)^2}[/mm]
Zum Vergleich hier noch die direkte Anwendung der Quotientenregel auf den urspünglich gegebenen Funktionsterm
[mm]f'_a(x)=\frac{2x\cdot (x^2+a)-(x^2-4)\cdot 2x}{(x^2+a)^2}=\frac{2x^3+2ax-2x^3+8x}{(x^2+a)^2}=\frac{2(a+4)x}{(x^2+a)^2}[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:06 Mi 27.06.2007 | | Autor: | Lerche |
Danke schon mal
Und wie würde man dann mit der 2ten und 3ten Ableitung fortsetzen?
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Hallo,
[mm] f'(x)=\bruch{2x(a+4)}{(x^{2}-4)^{2}}
[/mm]
mache jetzt wieder Quotientenregel, beachte aber den Nenner nach Kettenregel abzuleiten,
u=2x(a+4)
u'=2(a+4)
[mm] v=(x^{2}-4)^{2}
[/mm]
[mm] v'=2(x^{2}-4)*2x=4x(x^{2}-4)
[/mm]
Steffi
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