Ableitungsregel hierfür < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 23:16 Mi 07.10.2009 | | Autor: | Hokes |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich suche nach einer Ableitungsregel hierfür.
(A soll im Folgenden eine symmetrisch positiv-definite Matrix sein (wegen Energienorm bzw. -skalarprodukt) aber das ist wahrscheinlich nicht wichtig, oder?)
F(x) = [mm] \bruch{1}{2}(x^{T}Ax)-b^{T}x [/mm] (b,x [mm] \in \IR^{n})
[/mm]
Für F'(x) gilt: F'(x) = Ax-b
Ebenso: Wie leitet man das nach t ab? (In obige Funktion F wird (y+tr) eingesetzt; y,r [mm] \in \IR^{n} [/mm] & t [mm] \in \IR.)
[/mm]
[mm] \mu(t) [/mm] := F(y+tr) = [mm] \bruch{1}{2}(y+tr)^{T}A(y+tr)-b^{T}(y+tr)
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:40 Do 08.10.2009 | | Autor: | barsch |
Hey Hokes,
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Ich suche nach einer Ableitungsregel hierfür.
> (A soll im Folgenden eine symmetrisch positiv-definite
> Matrix sein (wegen Energienorm bzw. -skalarprodukt) aber
> das ist wahrscheinlich nicht wichtig, oder?)
doch, es spielt eine große Rolle.
Ist [mm] F(x)=\bruch{1}{2}(x^{T}Ax)-b^{T}x,(b,x\in \IR^{n}), [/mm] so ist F'(x)=Ax-b nur, wenn A symmetrisch positiv-definit.
Ich würde mir das einmal anhand eines kleinen Beispiels verdeutlichen. Sei [mm] F(x)=\bruch{1}{2}*x^T*A\cdot{x} [/mm] mit [mm] A=\pmat{ a_1 & a_2 \\ a_2 & a_3 }, x^T=(x_1,x_2). [/mm] Gilt dann [mm] F'(x)=A\cdot{x} [/mm] immer noch, wenn [mm] A=\pmat{ a_1 & a_2 \\ a_4 & a_3 } [/mm] und somit nicht mehr symmetrisch?!
Das [mm] b^T*x [/mm] abgeleitet b ergibt, wird auch schnell deutlich, wenn du dir ein kleines Beispiel nimmst.
Du weißt ja nun, dass F'(x)=Ax-b für [mm] F(x)=\bruch{1}{2}(x^{T}Ax)-b^{T}x [/mm] mit A symmetrisch positiv definit. Das kannst du im folgenden nutzen.
> Ebenso: Wie leitet man das nach t ab? (In obige Funktion F
> wird (y+tr) eingesetzt; y,r [mm]\in \IR^{n}[/mm] & t [mm]\in \IR.)[/mm]
>
> [mm] \mu(t):=F(y+tr)=\bruch{1}{2}(y+tr)^{T}A(y+tr)-b^{T}(y+tr)
[/mm]
Es ist für symmetrische positiv definite Matrix A definiert:
[mm] _A=x^T*A*x [/mm] (Standardskalarprodukt)
Somit ist
[mm] \bruch{1}{2}(y+tr)^{T}A(y+tr)-b^{T}(y+tr)=\bruch{1}{2}*_A-b^{T}(y+tr)
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{2}*(_A+_A+_A+_A)-b^T*y-b^T*tr
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{2}*(_A+2_A+_A)-b^T*y-b^T*tr
[/mm]
=...
Definition des Skalarprodukts verwenden und dann ableiten unter Berücksichtigung der obigen Erkenntnis.
Sorry, habe sehr lange gebraucht mit meiner Antwort, weil mein PC andauernd meinte, sich verabschieden zu müssen.
Hoffentlich habe ich keine Fehler in der Anwtort (![[sorry]](/images/smileys/sorry.gif "[sorry]") , das kann zu so später Stunde mal passieren). Also kritisch betrachten und hinterfragen...
Aber andere Mitglieder werden sich dann auch beschweren 
Gruß barsch
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