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Forum "Integration" - Ableitungsverschachtelungen
Ableitungsverschachtelungen < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Ableitungsverschachtelungen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:01 Mo 08.12.2008
Autor: pojo

Aufgabe
Folgende Funktion ableiten:

[mm] f(t)=\arctan\left(e^t\right)-\ln\left(\sqrt{\bruch{e^{2t}}{e^{2t }+ 1}}\right) [/mm]

Hallo,

meine Ableitungskünste sind etwas eingerostet, daher wende ich mich jetzt nach einigen Versuchen und viel Leserei an euch und hoffe, ihr könnt mir weiterhelfen.

Die oben genannte Funktion soll abgeleitet werden.

Die einzelnen Ableitungsregeln sind mir noch bekannt (ln x = 1/x, arctan x = 1/1+x² usw..)

Aber im Ganzen bekomme ich es irgendwie nicht hin. Wenn ich den ln(..) richtig abgelitten habe, sollte sich der Teil zu -1/2 auflösen (ich hoffe das stimmt) nur jetzt bin ich mir beim arctan nicht ganz sicher, weil die [mm] e^t [/mm] mit dazu kommt..

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Ableitungsverschachtelungen: die richtige Funktion
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:09 Mo 08.12.2008
Autor: crashby

Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

Hallo meinst du

$f(t) =  arctan(e^t) - \ln\left(\frac{\sqrt{e^{2t}}}{e^{2t} + 1}}\right) $

oder


$f(t) =  arctan(e^t) - \ln\left(\frac{\sqrt{e^{2t}}}{e^{2t + 1}}}\right) $

greetz

Bezug
                
Bezug
Ableitungsverschachtelungen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:20 Mo 08.12.2008
Autor: pojo

Die Obere Funktion, allerdings ist der komplette Begriff in der Klammer als Wurzel.. als ln( Sqrt( ... / ... ) )

Bezug
                        
Bezug
Ableitungsverschachtelungen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:58 Mo 08.12.2008
Autor: crashby

Okay,

na für [mm] arctan(e^t) [/mm] nimmst du die Kettenregel also äußere mal innere Ableitung. Beim zweiten Term also ln(..) benutzt du dies hier:

(ln(x))'=1/x

beispiel: $ [mm] (ln(2x+1))'=\frac{1}{2x+1}\cdot 2=\frac{2}{2x+1} [/mm] $

und das wendest du  für dein beispiel an. Wird ein bissel schreibarbeit werden.

Bezug
        
Bezug
Ableitungsverschachtelungen: zum 1 .Term
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:03 Mo 08.12.2008
Autor: Roadrunner

Hallo pojo,

[willkommenmr] !!


Hier mal der 1. Term. Dieser ergibt mit der MBKettenregel:

[mm] $$\bruch{1}{1+\left(e^t\right)^2}*e^t [/mm] \ = \ [mm] \bruch{e^t}{1+e^{2t}}$$ [/mm]

Gruß vom
Roadrunner


Bezug
        
Bezug
Ableitungsverschachtelungen: zum 2. Term
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:07 Mo 08.12.2008
Autor: Roadrunner

Hallo pojo!


Für die Ableitung des 2. Terms mal die ersten Schritte ...

und Du machst dann weiter ...

[mm] $$-\bruch{1}{\wurzel{\bruch{e^{2t}}{1+e^{2t}}}}*\left(\wurzel{\bruch{e^{2t}}{1+e^{2t}}}\right)' [/mm] \ = \ [mm] -\wurzel{\bruch{1+e^{2t}}{e^{2t}}}*\bruch{1}{2*\wurzel{\bruch{e^{2t}}{1+e^{2t}}}}*\left(\bruch{e^{2t}}{1+e^{2t}}\right)' [/mm] \ = \ ...$$
Für den letzten Term nun die MBQuotientenregel anwenden ...


Gruß vom
Roadrunner


Bezug
        
Bezug
Ableitungsverschachtelungen: Der ln
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:23 Mo 08.12.2008
Autor: angela.h.b.


> Folgende Funktion ableiten:
>  
> [mm]f(t)=\arctan\left(e^t\right)-\ln\left(\sqrt{\bruch{e^{2t}}{e^{2t }+ 1}}\right)[/mm]

Hallo,

sofern Du die MBLogarithmusgesetze beherrschst, kannst Du Dir das Ableitung von [mm] \ln\left(\sqrt{\bruch{e^{2t}}{e^{2t }+ 1}}\right) [/mm] vereinfachen:

[mm] \ln\sqrt{\bruch{e^{2t}}{e^{2t }+ 1}}= ln((\bruch{e^{2t}}{e^{2t }+ 1})^{0.5})=0.5* ln(\bruch{e^{2t}}{e^{2t }+ 1})=0.5(ln(e^{2t})- ln(e^{2t}+1))=0.5(2t [/mm] - [mm] ln(e^{2t}+1)). [/mm]

Jetzt ableiten.

Gruß v. Angela

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