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Hallo liebes Mathe-team,
ich habe folgende Frage: Wie erklaert es sich, dass der Bruch 16/64 dadurch gekuerzt werden kann, dass man einfach die 6 im Nenner und Zaehler wegstreicht. Ist dies Zufall oder gibt es so ein Phaenomen oefter?
Bitte um beantwortung, danke sehr!
Chris
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Was ist schon "Zufall"? Ich denke, Zufall ist es nicht, vielmehr eine Besonderheit.
Im Bruch [mm]\frac{16}{64}[/mm] stimmen die Einerziffer des Zählers und die Zehnerziffer des Nenners überein. Beim Wegstreichen dieser Ziffern erhält man [mm]\frac{1}{4}[/mm], was sich auch beim korrekten Kürzen des Bruches ergäbe. Dann funktioniert das Ganze aber auch beim Kehrbruch [mm]\frac{64}{16}[/mm], wenn man hier die Zehnerziffer des Zählers gegen die Einerziffer des Nenners wegstreicht.
Bei der Untersuchung des Phänomens können wir uns auf einen der beiden Fälle beschränken. Wir nehmen den ersten.
Es geht also um Folgendes:
Wann besteht zwischen drei ganzen Zahlen [mm]1 \leq a,b,c \leq 9[/mm] die Gleichung [mm]\frac{10a+b}{10b+c}=\frac{a}{c}[/mm] ?
Indem man die Nenner hochmultipliziert, ausmultipliziert, nach Produkten mit c sortiert und c ausklammert, bekommt man die Gleichung
(*)[mm]\ \ (9a+b)c=10ab[/mm]
Wegen [mm]10=5 \cdot 2[/mm] enthält die rechte Seite den Primfaktor 5. Also muß das auch auf der linken Seite der Fall sein. Da gibt es zwei Möglichkeiten: Die 5 steckt in c, was c=5 bedeutet, oder die 5 steckt in 9a+b.
Fall I: c=5
Die Gleichung (*) lautet jetzt
[mm]9a+b=2ab \ \ \Leftrightarrow \ \ \ [/mm](**)[mm]\ \ 9a=b(2a-1)[/mm]
Der Faktor 9 der linken Seite muß auch in der rechten Seite aufgehen. Er könnte nun ganz in [mm]2a-1[/mm] aufgehen, was [mm]a=5[/mm] bedeutet, oder, falls dem nicht so ist, muß b den Faktor 3 enthalten, wofür nur [mm]b=3,6,9[/mm] in Frage kommen.
Fall 1: [mm]a=5[/mm]
Setzt man das in (**) ein, erhält man b=5. Insgesamt gilt: [mm]a=b=c=5[/mm], was auf den uninteressanten Fall [mm]\frac{55}{55}=\frac{5}{5}[/mm] hinausläuft.
Fall 2: [mm]b=3,6,9[/mm]
Setzt man diese Werte in (**) ein, erhält man [mm]a=-1,2,1[/mm]. Die erste Möglichkeit scheidet aus. Man erhält die Brüche [mm]\frac{26}{65}=\frac{2}{5}[/mm] und [mm]\frac{19}{95}=\frac{1}{5}[/mm].
Fall II: 5 teilt 9a+b
Dann muß [mm]9a+b[/mm] eine der Zahlen 10,15,20,...,90 sein.
Es könnte nun [mm]a=b[/mm] sein. Dann bekommt (*) die Gestalt [mm]10bc=10ab[/mm], also [mm]c=b[/mm]. Insgesamt gilt [mm]a=b=c[/mm], was zu den uninteressanten Fällen führt, wo Zähler und Nenner identische 11er-Zahlen sind.
Es bleiben übrig:
[mm]9a+b=15[/mm], also [mm]a=1,\, b=6[/mm], ergibt bei (*) den Wert [mm]c=4[/mm]
[mm]9a+b=25[/mm], also [mm]a=2,\, b=7[/mm], ergibt bei (*) kein sinnvolles c
[mm]9a+b=35[/mm], also [mm]a=3,\, b=8[/mm], ergibt bei (*) kein sinnvolles c
[mm]9a+b=45[/mm], also [mm]a=4,\, b=9[/mm], ergibt bei (*) den Wert [mm]c=8[/mm]
[mm]9a+b=55[/mm], also [mm]a=6,\, b=1[/mm], ergibt bei (*) kein sinnvolles c
[mm]9a+b=65[/mm], also [mm]a=7,\, b=2[/mm], ergibt bei (*) kein sinnvolles c
[mm]9a+b=75[/mm], also [mm]a=8,\, b=3[/mm], ergibt bei (*) kein sinnvolles c
[mm]9a+b=85[/mm], also [mm]a=9,\, b=4[/mm], ergibt bei (*) kein sinnvolles c
Man erhält somit die Brüche [mm]\frac{16}{64}=\frac{1}{4}[/mm] und [mm]\frac{49}{98}=\frac{4}{8}[/mm]
Außer den Fällen, wo Zähler und Nenner identische 11er-Zahlen sind, erhält man durch falsches Kürzen richtige Ergebnisse nur bei den Brüchen
[mm]\frac{26}{65} \ , \ \ \frac{19}{95} \ , \ \ \frac{16}{64} \ , \ \ \frac{49}{98}[/mm]
und ihren Kehrbrüchen.
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