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| Aufgabe | | Zeigen Sie, dass die durch [mm] f(x)=x+e^x [/mm] auf [mm] \IR [/mm] definierte Funktion eine zweimal differenzierbare Umkehrfunktion g auf [mm] \IR [/mm] bestitzt, und bestimmen Sie deren Taylorpolynom zweiten Grades [mm] T_{g,b}^2(x) [/mm] an der Stelle b=1. Schätzen sie mit der Darstellung nach Lagrange das Restglied [mm] g(x)-T_{g,1}^1(x) [/mm] im Intervall [mm] (1,\bruch{11}{10}) [/mm] ab. |
Hallo!
Also ich glaube den ersten Teil habe ich gelöst, aber bei der Abschätzung von Restglied komme ich nicht weiter...
Durch den Satz, dass die Ableitung der Umkerhfunktion g' genau 1 durch die Ableitung der Funktion f ist habe ich die Ableitung der Umkehrfunktion bestimmt.
Das heißt: [mm] g'(x)=\bruch{1}{1+e^x} [/mm] und diese ist offensichtlich nocheinmal differenzierbar mit [mm] g''(x)=-(e^x+1)^{-2} \cdot e^x
[/mm]
Damit ergibt sich für das Taylorpolynom:
[mm] T_{g,1}^2=g(1)+g'(1)\cdot (x-1)+g''(1)\cdot (x-1)^2 [/mm]
[mm] =(1+e^1)^{-1} [/mm] (x-1) - [mm] \bruch{(e^1+1)^{-2} \cdot e^x}{2} (x-1)^2
[/mm]
Nun zur Lagrange Form des Restglieds:
Klar ist mir, dass [mm] g(x)-T_{g,1}^1 [/mm] = [mm] R_2(x)
[/mm]
Das habe ich nun aufgestellt mit:
[mm] R_2(x)=\bruch{g''(\varepsilon)}{2}(x-1)^2
[/mm]
[mm] =-\bruch{(e^\varepsilon+1)^{-2} \cdot e^\varepsilon}{2} \cdot (x-1)^2
[/mm]
Ich denke, das Ziel ist eine Abschätzung des Restglieds nach oben. Dabei muss ich mir doch jetzt überlegen, wo sich für [mm] \varepsilon [/mm] ein maximaler Wert ergibt oder?
Mir ist klar, dass [mm] \varepsilon [/mm] im Intervall [1,x] liegen kann. Allerdings verstehe ich nicht, was es heißt, dass ich das Restglied im Intervall (1, [mm] \bruch{11}{10}) [/mm] bestimmen soll... heißt das, dass x in diesem Intervall liegt?
Es wäre super, wenn mir jemand an dieser Stelle erklären kann, wie ich weiter vorgehen muss und vielleicht einen Tipp für die Abschätzung hat.
Lg Wiebke
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:09 Mi 06.05.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
du hast 2 verschiedene Intervalle, (0,11/100 UND (1,11/10)
dann musst du einfach das Max deines [mm] \epsilonsausdrucks [/mm] im richtigen Intervall nehmen.
allerdings hast du das falsche Restglied, du bruachst [mm] R_3 [/mm] also 3te Ableitung usw. du sollst doch $ [mm] g(x)-T_{g,2}^2(x) [/mm] $ abschaetzen nicht $ [mm] g(x)-T_{g,1}^1 [/mm] $ = $ [mm] R_2(x) [/mm] $
Gruss leduart
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Hallo!
Ich hatte gestern in der Aufgabenstellung das Intervall falsch angegeben... und ich soll doch das Restglied [mm] R_2 [/mm] betrachten... habs jetzt verbessert.
Aber leider komme ich damit immer noch nicht weiter.
Mir ist nicht klar, was es heißt, dass ich das Restglied [mm] R_2 [/mm] im Intervall [mm] (1,\bruch{11}{10}) [/mm] abschätzen soll. Ich weiß überhaupt nicht, wass mir diese Intervallgrenze sagen soll und für welche Varable sie steht, denn ich habe ja jetzt zwei Variablem im Restglied, dass [mm] \varepsilon [/mm] und das x. Ich dachte [mm] \varepsilon [/mm] wäre aus dem Intervall (1,x) stimmt das?? Ist x dann aus [mm] (1,\bruch{11}{10}) [/mm] ? Ich dachte x wäre in irgendeinem abgeschlossenen Intervall und dieses ist ja offen. Es wäre super, wenn mir jemand diese Zusammenhänge erklären könnte.
Lg Wiebke
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:10 Do 07.05.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo Wiebke!
> Hallo!
> Ich hatte gestern in der Aufgabenstellung das Intervall
> falsch angegeben... und ich soll doch das Restglied [mm]R_2[/mm]
> betrachten... habs jetzt verbessert.
> Aber leider komme ich damit immer noch nicht weiter.
>
> Mir ist nicht klar, was es heißt, dass ich das Restglied
> [mm]R_2[/mm] im Intervall [mm](1,\bruch{11}{10})[/mm] abschätzen soll. Ich
> weiß überhaupt nicht, wass mir diese Intervallgrenze sagen
> soll und für welche Varable sie steht, denn ich habe ja
> jetzt zwei Variablem im Restglied, dass [mm]\varepsilon[/mm] und das
> x. Ich dachte [mm]\varepsilon[/mm] wäre aus dem Intervall (1,x)
> stimmt das?? Ist x dann aus [mm](1,\bruch{11}{10})[/mm] ?
Beides richtig. Zerlege das Problem in zwei Teile:
1. Abschätzung des Restglieds [mm] $R_2(x)$ [/mm] im Intervall $(1,11/10)$. Das heisst also, dass x in diesem Intervall liegt. Das ist immer gleich, egal welche Darstellung des Restgliedes du nimmst.
2. Lagrangedarstellung des Restgliedes. Die sagt doch: gegeben der Wert x, Entwicklungspunkt ist 1, dann gibt es ein [mm] $\varepsilon\in(1,x)$, [/mm] sodass [mm] $R_2(x) [/mm] = [mm] \bruch{1}{3!}g'''(\varepsilon) (x-1)^3$, [/mm] mit anderen Worten
[mm] 1 <\varepsilon < x < \bruch{11}{10} [/mm]
Du kannst also das Restglied nach oben abschätzen, indem du die dritte Ableitung von g im Intervall $(1,11/10)$ abschätzt.
> Ich dachte
> x wäre in irgendeinem abgeschlossenen Intervall und dieses
> ist ja offen. Es wäre super, wenn mir jemand diese
> Zusammenhänge erklären könnte.
Um das Taylorpolynom n-ten Grades [mm] $T_{g,b}^n(x)$ [/mm] zu bestimmen, muss die Funktion auf einem abgeschlossenen Intervall $[b,x]$ n-mal stetig differenzierbar und auf dem dazugehörigen offenen Intervall $(b,x)$ $(n+1)$-mal differenzierbar sein. Deswegen ist beim Restglied, in dem ja die $(n+1)$-te Ableitung vorkommt, nur vom offenen Intervall die Rede.
Viele Grüße
Rainer
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:57 Do 07.05.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo Wiebke!
> Zeigen Sie, dass die durch [mm]f(x)=x+e^x[/mm] auf [mm]\IR[/mm] definierte
> Funktion eine zweimal differenzierbare Umkehrfunktion g auf
> [mm]\IR[/mm] bestitzt, und bestimmen Sie deren Taylorpolynom zweiten
> Grades [mm]T_{g,b}^2(x)[/mm] an der Stelle b=1. Schätzen sie mit der
> Darstellung nach Lagrange das Restglied [mm]g(x)-T_{g,1}^1(x)[/mm]
> im Intervall [mm](1,\bruch{11}{10})[/mm] ab.
> Hallo!
> Also ich glaube den ersten Teil habe ich gelöst, aber bei
> der Abschätzung von Restglied komme ich nicht weiter...
>
> Durch den Satz, dass die Ableitung der Umkerhfunktion g'
> genau 1 durch die Ableitung der Funktion f ist habe ich die
> Ableitung der Umkehrfunktion bestimmt.
Da hast du aber einen wichtigen Teil weggelassen: wenn $g(y)$ die Umkehrfunktion ist, so ist
[mm] g'(y) = \bruch{1}{f'(g(y))} [/mm]
> Das heißt: [mm]g'(x)=\bruch{1}{1+e^x}[/mm] und diese ist
Nein, es ist
[mm] g'(y) = \bruch{1}{1+e^{g(y)}} [/mm].
Da $f(0)=1$ ist, ist $g(1)=0$ und daher $g'(1) = [mm] \bruch{1}{1+e^0} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}$
[/mm]
> offensichtlich nocheinmal differenzierbar mit
> [mm]g''(x)=-(e^x+1)^{-2} \cdot e^x[/mm]
Das stimmt dann auch nicht, aber du kannst die zweite Ableitung direkt ausrechnen:
[mm] g''(y) = \bruch{d}{dy} \bruch{1}{1+e^{g(y)}} = \dots [/mm]
> Damit ergibt sich für das Taylorpolynom:
> [mm]T_{g,1}^2=g(1)+g'(1)\cdot (x-1)+g''(1)\cdot (x-1)^2[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> [mm]=(1+e^1)^{-1}[/mm] (x-1) - [mm]\bruch{(e^1+1)^{-2} \cdot e^x}{2} (x-1)^2[/mm]
>
> Nun zur Lagrange Form des Restglieds:
> Klar ist mir, dass [mm]g(x)-T_{g,1}^1[/mm] = [mm]R_2(x)[/mm]
>
> Das habe ich nun aufgestellt mit:
> [mm]R_2(x)=\bruch{g''(\varepsilon)}{2}(x-1)^2[/mm]
> [mm]=-\bruch{(e^\varepsilon+1)^{-2} \cdot e^\varepsilon}{2} \cdot (x-1)^2[/mm]
Da musst du mit der Notation aufpassen. Normalerweise bezeichnet [mm] $R_2$ [/mm] das Restglied zum Taylorpolynom zweiten Grades, also
[mm]g(x)-T_{g,1}^{\red{2}} = R_2(x)[/mm]
Daher steht im Restglied die dritte Ableitung:
[mm] R_2(x) = \bruch{g'''(\varepsilon)}{6}(x-1)^3[/mm]
> Ich denke, das Ziel ist eine Abschätzung des Restglieds
> nach oben. Dabei muss ich mir doch jetzt überlegen, wo sich
> für [mm]\varepsilon[/mm] ein maximaler Wert ergibt oder?
Richtig. Du nimmst einfach für jeden der Faktoren [mm] $g'''(\varepsilon)$ [/mm] und [mm] $(x-1)^3$ [/mm] den größtmöglichen Wert an.
> Mir ist klar, dass [mm]\varepsilon[/mm] im Intervall [1,x] liegen
> kann. Allerdings verstehe ich nicht, was es heißt, dass ich
> das Restglied im Intervall (1, [mm]\bruch{11}{10})[/mm] bestimmen
> soll... heißt das, dass x in diesem Intervall liegt?
Ja.
Viele Grüße
Rainer
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