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Abschätzen lernen: Übungen zum Abschätzen lernen
Status: (Umfrage) Beendete Umfrage Status 
Datum: 11:29 Fr 27.02.2015
Autor: mbra771

Aufgabe
Hallo liebes Forum,
ich arbeite gerade einige Schwachpunkte auf, bevor der eigentliche Kurs Analysis los geht. Ein Schwachpunkt bei mir ist das Abschätzen von Ungleichungen. Bei Stetigkeitsbeweisen wie beim Epsilon - Delta Kriterium brauche ich immer ewig, um eine sinnvolle Abschätzung zu bekommen.

Hätte jemand hier einige Übungsaufgaben zur Hand, um diese Fertigkeit zu trainieren? Möglichst erst einige leichte Übungen, die man ja dann in der Schwierigkeit steigern kann.

Ich würde mich sehr freuen, Grüße Micha

        
Bezug
Abschätzen lernen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:16 Fr 27.02.2015
Autor: Marcel

Hallo,

> Hallo liebes Forum,
>  ich arbeite gerade einige Schwachpunkte auf, bevor der
> eigentliche Kurs Analysis los geht. Ein Schwachpunkt bei
> mir ist das Abschätzen von Ungleichungen. Bei
> Stetigkeitsbeweisen wie beim Epsilon - Delta Kriterium
> brauche ich immer ewig, um eine sinnvolle Abschätzung zu
> bekommen.
>  Hätte jemand hier einige Übungsaufgaben zur Hand, um
> diese Fertigkeit zu trainieren? Möglichst erst einige
> leichte Übungen, die man ja dann in der Schwierigkeit
> steigern kann.

das ist schwer, weil man zum einen ja erst gewisse Tricks einmal gesehen
haben muss, und zum anderen für gewisse Abschätzungen auch schon
Vorwissen braucht (Cauchy-Schwarz zum Beispiel).
Eigentlich läßt sich gerade zu Beginn immer relativ viel schon schnell mit der
Dreiecksungleichung erschlagen. Zum Beispiel:
  
    $f [mm] \colon [/mm] x [mm] \mapsto [/mm] |x|$

ist stetig (durchaus als Funktion [mm] $\IC \to \IC$). [/mm]

Ich mache es jetzt mal anders, als es in den meisten Lehrbüchern steht;
wobei ich durchaus indirekt schon die gleichmäßige Stetigkeit beweise; in
den Lehrbüchern wird nämlich meist direkt schon das [mm] $\delta$ [/mm] vorgegeben, ich
schreibe mal eine Strategie hin, wie man ein passendes hier *findet*.

Zu zeigen ist: Sind [mm] $x_0 \in \IC$ [/mm] und [mm] $\epsilon [/mm] > 0$ vorgegeben, so suchen wir
[mm] $\delta [/mm] > 0$ (wobei [mm] $\delta=\delta(x_0,\epsilon)$ [/mm] - also die Abhängigkeit sowohl von [mm] $x_0$ [/mm]
als auch von [mm] $\epsilon$ [/mm] darf vorhanden sein) mit

    [mm] $\forall [/mm] y [mm] \in \IC$ [/mm] mit [mm] $|y-x_0| [/mm] < [mm] \delta$ $\Rightarrow$ $|f(x_0)-f(y)| [/mm] < [mm] \epsilon$. [/mm]

Sei nun [mm] $\delta [/mm] > 0$ noch unbestimmt. Dann gilt für [mm] $|y-x_0| [/mm] < [mm] \delta$ [/mm]

    [mm] $|f(x_0)-f(y)| [/mm] < [mm] \epsilon$ [/mm]

    [mm] $\iff$ $|\;|x_0|-|y|\;| [/mm] < [mm] \epsilon$. [/mm]

Jetzt kennen wir die Ungleichung

    [mm] $|\;|r|-|s|\;| \le [/mm] |r-s|$

(falls nicht: kannst Du sie beweisen?).

Wenn nun also

    [mm] $|x_0-y| [/mm] < [mm] \epsilon$ [/mm]

erfüllt wäre, dann folgte auch

    [mm] $|\;|x_0|-|y|\;| [/mm] < [mm] \epsilon$; [/mm]
(kurzgesagt: [mm] $|x_0-y| \le \epsilon$ [/mm] ist hinreichend für [mm] $|\;|x_0|-|y|\;| [/mm] < [mm] \epsilon$) [/mm]

denn dann hätten wir

    [mm] $|\;|x_0|-|y|\;| \le |x_0-y|< \epsilon$. [/mm]

Daher kann man sich irgendein $0 < [mm] \delta \le \epsilon$ [/mm] aussuchen - und wie man
sieht, hängen derartige [mm] $\delta$ [/mm] gar nicht von [mm] $x_0$ [/mm] ab, so dass man damit dann
sogar die gleichmäßige Stetigkeit bewiesen hat.

Du siehst hier: Beim Beweis ist mein Vorgehen eher *konstruktiv*, in den
Bücher scheint oft vieles vom Himmel zu fallen. ("Man wähle [mm] $\delta:=...$, [/mm] dann ... .)

Ansonsten kann ich Dir eigentlich nur ans Herz legen, einfach mal bei den
Sätzen, wo Ungleichungen benutzt oder neue Ungleichungen bewiesen
werden, zu schauen, was da an welcher Stelle eingeht; vielleicht siehst
Du manchmal auch - mit einem Blick, wohin man kommen will - warum das
ein *naheliegender Versuch* sein kann. (Quasi *Rückwärtsanalyse*: Was
wurde da gemacht, und warum hätte das sein können?)

Und rechne halt die Übungsaufgaben, und wenn Du nicht weiterkommst,
kannst Du hier gerne auch nachfragen

Vielleicht kannst Du ja auch mal die Aufgabe:
- Ist $g [mm] \colon \IC \to \IC$ [/mm] mit [mm] $g(x):=x^2$ [/mm] (überall) stetig?

beantworten und Deine Behauptung beweisen. Und das vielleicht auch mit
obiger *Strategie*: Du läßt das [mm] $\delta [/mm] > 0$ zunächst unbestimmt, und guckst
dann, ob Du mit einer Rechnung siehst, wie man solch' ein [mm] $\delta [/mm] > 0$ passend
finden kannst.

Allerdings: [mm] $g\,$ [/mm] ist NICHT glm. stetig!

Gruß,
  Marcel

Bezug
                
Bezug
Abschätzen lernen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:50 Fr 27.02.2015
Autor: mbra771

Hallo Marcel,
erst einmal möchte ich mich für deine sehr umfangreiche Antwort bedanken. Ich bin nicht das erste Mal beeindruckt, wieviel Engagement du in die Beantwortung der Fragen steckst.

Als Übung möchte ich direkt mit dem Beweis der Ungleichung $||r|-|s|| [mm] \le [/mm] |r - s|$ anfangen:

Mit der Dreiecksungleichung gilt:
$|x+s| [mm] \le [/mm] |x|+|s|$ Setze für $x= r-s$ so folgt:
$|r-s+s| [mm] \le [/mm] |r-s|+|s|$     [mm] $\gdw$ [/mm]
$|r| [mm] \le [/mm] |r-s|+|s|$

In der gleichen Art kann man zeigen, das gilt : $|s| [mm] \le [/mm] |r-s|+|r|$

Somit folgt:
$|r| [mm] \le [/mm] |r-s|+|s|$     | $-|s|$   [mm] $\gdw$ [/mm]
$|r|-|s| [mm] \le [/mm] |r-s|$

und:
$|s| [mm] \le [/mm] |r-s|+|r|$     | $-|r|$   [mm] $\gdw$ [/mm]
$|s|-|r| [mm] \le [/mm] |r-s|$

Aus $|r|-|s| [mm] \le [/mm] |r-s|$ und $|s|-|r| [mm] \le [/mm] |r-s|$ folgt $||r|-|s|| [mm] \le [/mm] |r-s|$

Ich hoffe das ist so korrekt.

Das Prinzip des Epsilon – Delta Kriterium habe ich (so denke ich) verstanden. Dazu hatte ich hier im Forum auch mal eine Tolle Anleitung gefunden. Es fehlen mir nur Aufgaben um die Abschätzungen zu üben. Aber genau solche Aufgaben habe ich gemeint. DANKE :-)
Wenn dieser Beweis so ok ist, dann mache ich mich mal an deine erwähnte Übungsaufgabe.

Micha

Bezug
                        
Bezug
Abschätzen lernen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:41 Sa 28.02.2015
Autor: Marcel

Hallo Micha,

> Hallo Marcel,
>  erst einmal möchte ich mich für deine sehr umfangreiche
> Antwort bedanken. Ich bin nicht das erste Mal beeindruckt,
> wieviel Engagement du in die Beantwortung der Fragen
> steckst.

kein Thema - dann bedanke ich mich auch mal für die netten Worte Deinerseits. :-)

> Als Übung möchte ich direkt mit dem Beweis der
> Ungleichung [mm]||r|-|s|| \le |r - s|[/mm] anfangen:
>  
> Mit der Dreiecksungleichung gilt:
> [mm]|x+s| \le |x|+|s|[/mm] Setze für [mm]x= r-s[/mm] so folgt:
>  [mm]|r-s+s| \le |r-s|+|s|[/mm]     [mm]\gdw[/mm]
>  [mm]|r| \le |r-s|+|s|[/mm]
>  
> In der gleichen Art kann man zeigen, das gilt : [mm]|s| \le |r-s|+|r|[/mm]

Das folgt auch ziemlich direkt durch Rollentausch $r [mm] \leftrightarrow s$. > Somit folgt: > [/mm]  [mm]|r| \le |r-s|+|s|[/mm]     | [mm]-|s|[/mm]   [mm]\gdw[/mm]

>  [mm]|r|-|s| \le |r-s|[/mm]
>  
> und:
>  [mm]|s| \le |r-s|+|r|[/mm]     | [mm]-|r|[/mm]   [mm]\gdw[/mm]
>  [mm]|s|-|r| \le |r-s|[/mm]
>  
> Aus [mm]|r|-|s| \le |r-s|[/mm] und [mm]|s|-|r| \le |r-s|[/mm] folgt [mm]||r|-|s|| \le |r-s|[/mm]
>  
> Ich hoffe das ist so korrekt.

[ok]

Das, was Du am Ende ausnutzt, ist halt die Rückrichtung der Äquivalenz

    $|y| [mm] \le \epsilon$ $\iff$ $-\epsilon \le [/mm] y [mm] \le \epsilon$. [/mm]

> Das Prinzip des Epsilon – Delta Kriterium habe ich (so
> denke ich) verstanden. Dazu hatte ich hier im Forum auch
> mal eine Tolle Anleitung gefunden. Es fehlen mir nur
> Aufgaben um die Abschätzungen zu üben. Aber genau solche
> Aufgaben habe ich gemeint. DANKE :-)
>  Wenn dieser Beweis so ok ist, dann mache ich mich mal an
> deine erwähnte Übungsaufgabe.

Alles supi. :-)

Gruß,
  Marcel

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Abschätzen lernen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:04 So 01.03.2015
Autor: mbra771

Super, freue mich!

Mit der Aufgabe habe ich doch etwas mehr Probleme. Da g eine Abbildung $ [mm] \IC \to \IC [/mm] $ darstellt bin ich mir nicht sicher wie ich mit der Aufgabe umgehen kann. Der Betrag einer komplexen Zahl ist bekannt, aber ich bin mir nicht sicher ob gilt:

Für $a,b [mm] \in \IC$ [/mm] gilt : [mm] $|a^2-b^2|=|a-b| [/mm] |a+b|$   (was ich gerne verwenden würde)

Zur Übung versuche ich mich derweilen mal an der Aufgabe mit $ g [mm] \colon \IR \to \IR [/mm] $ mit [mm] $g(x)=x^2$ [/mm]



[mm] $|g(x)-g(x_0)| [/mm] = [mm] |x^2-x_0^2| [/mm] = [mm] |x-x_0| |x+x_0| \le |x-x_0| [/mm] (|x| + [mm] |x_0|) \le \epsilon [/mm] $        [mm] $\Rightarrow$ [/mm]

[mm] $|x-x_0| \le \bruch{\epsilon}{|x|+|x_0|} \le \bruch{\epsilon}{|x_0|}$ [/mm]

Wähle [mm] $\delta [/mm] := [mm] \bruch{\epsilon}{|x_0|}$ [/mm] so ist [mm] $\delta [/mm] >0$ und nur von [mm] $\epsilon$ [/mm] und von [mm] $x_0$ [/mm] abhängig. Es folgt: g ist stetig in $x$.


Noch mal zwei Verständnisfrage:

Da ich mich ja nun nicht auf ein bestimmtes x festgelegt habe müsste doch somit folgen, dass g für alle $x [mm] \in \IR [/mm] $ stetig ist oder?
Um zu zeigen, dass g gleichmäßig stetig ist müsste ich noch eine Abschätzung zeigen, in der mein [mm] $\delta$ [/mm] nicht von [mm] $x_0$ [/mm] abhängig ist, oder?






Bezug
                                        
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Abschätzen lernen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:34 So 01.03.2015
Autor: fred97


> Super, freue mich!
>  
> Mit der Aufgabe habe ich doch etwas mehr Probleme. Da g
> eine Abbildung [mm]\IC \to \IC[/mm] darstellt bin ich mir nicht
> sicher wie ich mit der Aufgabe umgehen kann. Der Betrag
> einer komplexen Zahl ist bekannt, aber ich bin mir nicht
> sicher ob gilt:
>  
> Für [mm]a,b \in \IC[/mm] gilt : [mm]|a^2-b^2|=|a-b| |a+b|[/mm]

Es gilt.




>   (was ich
> gerne verwenden würde)
>  
> Zur Übung versuche ich mich derweilen mal an der Aufgabe
> mit [mm]g \colon \IR \to \IR[/mm] mit [mm]g(x)=x^2[/mm]
>  
>
>
> [mm]|g(x)-g(x_0)| = |x^2-x_0^2| = |x-x_0| |x+x_0| \le |x-x_0| (|x| + |x_0|) \le \epsilon[/mm]
>        [mm]\Rightarrow[/mm]
>  
> [mm]|x-x_0| \le \bruch{\epsilon}{|x|+|x_0|} \le \bruch{\epsilon}{|x_0|}[/mm]
>  
> Wähle [mm]\delta := \bruch{\epsilon}{|x_0|}[/mm] so ist [mm]\delta >0[/mm]
> und nur von [mm]\epsilon[/mm] und von [mm]x_0[/mm] abhängig. Es folgt: g ist
> stetig in [mm]x[/mm].

nein. damit hast Du gezeigt, dass g in [mm] x_0 [/mm] stetig ist, aber nur für den Fall, dass [mm] x_0 \ne [/mm] 0 ist.


>  
>
> Noch mal zwei Verständnisfrage:
>
> Da ich mich ja nun nicht auf ein bestimmtes x festgelegt
> habe müsste doch somit folgen, dass g für alle [mm]x \in \IR[/mm]
> stetig ist oder?

Gezeigt hast Du. g ist in jedem [mm] x_0 \ne [/mm] 0 stetig.


>  Um zu zeigen, dass g gleichmäßig stetig ist müsste ich
> noch eine Abschätzung zeigen, in der mein [mm]\delta[/mm] nicht von
> [mm]x_0[/mm] abhängig ist, oder?


Ob g glm stetig ist hängt vom Def. - bereich von g ab !

g ist z.B. auf [mm] \IR [/mm] nicht glm. stetig

g ist auf jeder kompakten Teilmenge von [mm] \IR [/mm] glm stetig

FRED

>  
>
>
>
>  


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Abschätzen lernen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:13 So 01.03.2015
Autor: mbra771

Hallo FRED,

Wie kann ich die Stetigkeit von [mm] $x_0$ [/mm] gezeigt haben, wenn mein [mm] $\delta$ [/mm] direkt von [mm] $x_0$ [/mm] abhängt?

Vielen Dank, das du dir die Mühe machst, mir hier zu antworten. Deine Antwort bringt mich aber nur weiter, wenn ich auch den Inhalt verstehen kann.

Grüße,
Micha

Bezug
                                                        
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Abschätzen lernen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:50 Mo 02.03.2015
Autor: fred97

Du hast doch gezeigt: ist [mm] x_0 \ne [/mm] 0 , [mm] \varepsilon [/mm] >0 und [mm] \delta=\bruch{\varepsilon}{|x_0|}, [/mm] so ist

   [mm] |g(x)-g(x_0)| [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm] für [mm] |x-x_0| [/mm] < [mm] \delta. [/mm]

Das bedeutet: g ist in [mm] x_0 [/mm] stetig.

FRED

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Abschätzen lernen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:00 Mo 02.03.2015
Autor: mbra771

Ups, ich merke gerade, dass ich mit den Bezeichnungen von $x$ und [mm] $x_0$ [/mm] durcheinander gekommen bin.  
...(Kleinlaut geschrieben)


Trotzdem hätte ich noch eine Frage:

Da [mm] $\bruch{\epsilon}{|x_0|} \le \epsilon$ [/mm] sollte es doch auch möglich sein das [mm] $\delta$ [/mm] mit [mm] $\delta [/mm] := [mm] \epsilon$ [/mm] zu wählen. Dann würde die Einschränkung [mm] $|x_0|\not= [/mm] 0 $ wegfallen, oder?

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Abschätzen lernen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:12 Mo 02.03.2015
Autor: fred97


> Ups, ich merke gerade, dass ich mit den Bezeichnungen von [mm]x[/mm]
> und [mm]x_0[/mm] durcheinander gekommen bin.  
> ...(Kleinlaut geschrieben)
>  
>
> Trotzdem hätte ich noch eine Frage:
>  
> Da [mm]\bruch{\epsilon}{|x_0|} \le \epsilon[/mm]


Das ist z.B. für [mm] x_0=1/2 [/mm] falsch !

FRED


> sollte es doch auch
> möglich sein das [mm]\delta[/mm] mit [mm]\delta := \epsilon[/mm] zu wählen.
> Dann würde die Einschränkung [mm]|x_0|\not= 0[/mm] wegfallen,
> oder?  


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Abschätzen lernen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:21 Mo 02.03.2015
Autor: mbra771

... (noch kleinlauter). Stimmt! Einleuchtendes Beispiel.
Danke,
Micha

Bezug
                                                                                        
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Abschätzen lernen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:01 Mo 02.03.2015
Autor: Marcel

Hallo Micha,

> ... (noch kleinlauter). Stimmt! Einleuchtendes Beispiel.
>  Danke,

Du brauchst hier gar nicht kleinlaut(er) zu werden. Deine Rückfragen zeigen,
dass Du nachdenkst, und die Fehler, die Du jetzt machst, weil Dir etwas
unklar ist, werden Dir in Erinnerung bleiben und Du wirst merken, dass Dir
(im Gegensatz zu einigen Deiner Kommilitonen) das später nicht mehr oder
seltener passieren wird. Denn Du hast den Fehler zwar nicht direkt selbst
erkannt (auch dafür wirst Du später ein Gespühr bekommen), aber Du hast
ihn eingesehen. Und gerade dieses "Ist-mir-ja-fast-peinlich-Gefühl" wird
Dir später dabei helfen, einen klareren Blick *für derartiges* zu bekommen.
Ich finde daher, dass dieses Gefühl sehr zweckdienlich ist; genauso wie
ein typisches "Jetzt-könnte-ich-mir-doch-die-Hand-gegen-die-Stirn-hauen-
Gefühl".

Von daher: Das nimmt Dir keiner übel (und selbst wenn, würde es in ein
paar Tagen wieder vergessen sein) - aber es hat normalerweise einen
guten *Lerneffekt*. :-)
( Ist jedenfalls so meine Erfahrung. ^^ )

Gruß,
  Marcel

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Abschätzen lernen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:06 Di 03.03.2015
Autor: DieAcht

Hallo,


Man kann trotzdem zeigen, dass die Abbildung

      [mm] $g\colon\IR\to\IR\colon x\mapsto [/mm] x$

stetig ist (Also auch im Nullpunkt!).


Gruß
DieAcht

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Abschätzen lernen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:36 Di 03.03.2015
Autor: Marcel

Hallo,

> Hallo,
>  
>
> Man kann trotzdem zeigen, dass die Abbildung
>  
> [mm]g\colon\IR\to\IR\colon x\mapsto x[/mm]
>  
> stetig ist (Also auch im Nullpunkt!).

ich hatte $x [mm] \mapsto [/mm] |x|$ (als Funktion [mm] $\IC \to \IR$ [/mm] oder [mm] $\IC \to \IC$) [/mm] vorgeschlagen.

Im Nullpunkt machen eigentlich weder $x [mm] \mapsto [/mm] x$ noch $x [mm] \mapsto [/mm] |x|$ Probleme.

Nebenbei: Das Schöne später ist ja, dass man direkt die Stetigkeit etwa
von Polynomfunktionen mit einfachen Sätzen folgern kann, ohne da
nochmal alles per Definitionem nachrechnen zu müssen. :-)

Aber hier geht es ja erstmal um's *Abschätzen lernen*.

Gruß,
  Marcel

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Bezug
Abschätzen lernen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:17 Fr 27.02.2015
Autor: Marcel

P.S. Ich habe aus Deiner Frage mal eine Umfrage gemacht, weil dann einfach
die Chance größer ist, mehrere Antworten zu bekommen.

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Abschätzen lernen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:40 So 01.03.2015
Autor: Ladon

Hallo Micha,

ich kann mich nur Marcel anschließen:
Abschätzen ist eine Kunst, die man nur durch stetes Üben erlangen kann. Ich habe auch im ersten Semester lange an Abschätz-Aufgaben gesessen, über die ich heute denke: "Ist doch eigentlich klar" ;-)
Daher im folgenden ein paar Übungsaufgaben:

Beweise
             [mm] $||x-x'|-|y-y'||\le|x-y|+|x'-y'|$ $\forall x,y,x',y'\in\IR$ [/mm]
Lösungen dazu findet man im Internet zuhauf. Es ist die sogenannte Vierecksungleichung, die man auch für viele Abschätzungen nutzt.

Beweise mit vollständiger Induktion für alle [mm] n\in\IN [/mm]
             [mm] $e\left(\frac{n}{e}\right)^n\le n!\le ne\left(\frac{n}{e}\right)^n$ [/mm]

Beweise für alle [mm] a,b,c,d\in\IR [/mm] mit $b,d>0$ und [mm] $\frac{a}{d}<\frac{c}{d}$ [/mm]
             [mm] $\frac{a}{b}<\frac{a+c}{b+d}<\frac{c}{d}$ [/mm]

Für welche [mm] n\in\IN [/mm] gilt:
             [mm] n^2\le2^n<(n+1)! [/mm]

Nutze die vorherige Erkenntnis um
             [mm] \sum_{i=0}^n\frac{1}{i!}<3 [/mm] mit $0!:=1$
für alle [mm] n\in\IN [/mm] zu beweisen.

Viel Spaß beim Knobeln :-)

LG
Ladon

EDIT: Ich habe die Aufgaben den MBAufgaben zu Ungleichungen hinzugefügt!

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Bezug
Abschätzen lernen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:07 So 01.03.2015
Autor: mbra771

Super! Ich mache mich gleich mal dran. DANKE

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