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| Aufgabe | Betrachtung der folgenden Funktionen [mm] f_{i} [/mm] auf [mm] D_{i}:
[/mm]
[mm] f_{1}:[0,\infty)\to\IR [/mm]
[mm] f_{1}(x)=x+e^{-x}
[/mm]
[mm] f_{2}:[0,1]\to\IR [/mm]
[mm] f_{2}(x)=\bruch{1}{4}x^{2}+1
[/mm]
[mm] f_{3}:\{ z\in\IC | \parallel z \parallel \le1 \}\to\IC [/mm]
[mm] f_{3}(x)=\bruch{1}{2}(z^{2}+i)
[/mm]
[mm] f_{4}:\IC(|0,1|)\to\IC(|0,1|) [/mm]
[mm] (f_{4}(x))(t)=\bruch{1}{2}x(t^{2})+\bruch{1}{2}
[/mm]
[mm] f_{5}:\IC(|0,1|)\to\IC(|0,1|) [/mm]
[mm] (f_{5}(x))(t)=x(t^{2})
[/mm]
a) Gilt [mm] \parallel f_{i}(x) -f_{i}(y) \parallel [/mm] < [mm] \parallel [/mm] x-y [mm] \parallel [/mm] für alle x,y [mm] \in D_{i}, [/mm] mit [mm] x\not=y?
[/mm]
b) Gibt es ein [mm] L\in(0,1), [/mm] so dass [mm] \parallel f_{i}(x) -f_{i}(y) \parallel \le L\parallel [/mm] x-y [mm] \parallel [/mm] für alle x,y [mm] \in D_{i}?
[/mm]
c) Wieviele Fixpunkte hat [mm] f_{i}?
[/mm]
Die Normen sind der Betrag, der komplexe Betrag und auf [mm] \IC(|0,1|) [/mm] die [mm] \parallel .\parallel_{\infty} [/mm] Norm |
Hallo zusammen,
hoffe ich habe hier nichts falsch gemacht bisher.
Meine erste Frage ist zu Aufgabenteil c:
In unserem Skript habe ich folgendes gefunden:
T: D [mm] \to [/mm] D und y [mm] \in [/mm] D ist Fixpunkt wenn gilt : T(y)=y
T ist eine Abbildung, die aus einer bekannten Approximation
[mm] y_{n} [/mm] eine neue Approximation [mm] y_{n+1} [/mm] konstruiert.
Meine Frage ist also, ob ich mir eine Funktion T suchen muss oder hier T= [mm] f_{i} [/mm] ist, was ich mir aber nicht vorstellen kann.
Meine zweite Frage ist eher eine Kontrolle ob ich das alles soweit richtig verstanden und gemacht habe.
zu [mm] f_{1}:
[/mm]
a) habe da nach der letzten Umformung [mm] \parallel [/mm] x-y [mm] \parallel \parallel e^{-x} [/mm] - [mm] e^{-y}\parallel [/mm] < [mm] \parallel x-y\parallel [/mm]
also meiner Meinung nach gilt das nicht, da ja x [mm] \not= [/mm] y und von daher [mm] \parallel e^{-x} [/mm] - [mm] e^{-y}\parallel [/mm] >0
b) nach der letzten Umformung habe ich da stehen [mm] \bruch{\parallel e^{-x} - e^{-y}\parallel}{\parallel x-y \parallel} \le [/mm] L-1. daraus folgt für mich dass L>1 sein muss da die linke seite positiv ist, also existiert kein L.
zu [mm] f_{2}:
[/mm]
a)bin mir nicht sicher ob folgender Schritt erlaubt ist:
[mm] \bruch{1}{4} \parallel x^{2} [/mm] - [mm] y^{2} \parallel [/mm] < [mm] \parallel [/mm] x-y [mm] \parallel
[/mm]
[mm] \Rightarrow \bruch{1}{4}\parallel [/mm] x+y [mm] \parallel \parallel [/mm] x-y [mm] \parallel <\parallel [/mm] x-y [mm] \parallel
[/mm]
dann würde folgen:
[mm] \parallel [/mm] x+y [mm] \parallel [/mm] < 4, also wäre Aussage a) korrekt
b) aus Aufgabenteil a) sollte folgen, dass L = [mm] \bruch{1}{4}\parallel [/mm] x+y [mm] \parallel [/mm] ist
dachte aber L wäre konstant von daher macht das für mich keinen sinn.
zu [mm] f_{3}:
[/mm]
habe da stehen
[mm] \bruch{1}{2} \parallel x^{2} [/mm] - [mm] y^{2} \parallel [/mm] < [mm] \parallel [/mm] x-y [mm] \parallel
[/mm]
hier komme ich mit der Abschäzung nicht weiter. den bruch bekomme ich weg. aber danach kann ich doch nicht das [mm] x^{2} [/mm] - [mm] y^{2} [/mm] gegen das x-y abschätzen oder?
zu [mm] f_{4}:
[/mm]
komme auf
[mm] \bruch{1}{2} \parallel x(t^{2}) [/mm] - [mm] y(t^{2}) \parallel [/mm] < [mm] \parallel [/mm] x-y [mm] \parallel
[/mm]
hier ist jetzt ja die Maximumsnorm anzuwenden. für die rechte seite kann ich mit das vorstellen, aber die linke mit dem [mm] x(t^{2}) [/mm] verstehe ich nicht so ganz. Wird das t da maxmial oder das [mm] x(t^{2})?
[/mm]
zu [mm] f_{5} [/mm] ist dass dann ja ähnlich.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Danke erstmal für eure Antworten.
Gruß Thomas
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:39 Mi 14.11.2012 | | Autor: | fred97 |
> Betrachtung der folgenden Funktionen [mm]f_{i}[/mm] auf [mm]D_{i}:[/mm]
> [mm]f_{1}:[0,\infty)\to\IR[/mm]
> [mm]f_{1}(x)=x+e^{-x}[/mm]
> [mm]f_{2}:[0,1]\to\IR[/mm]
> [mm]f_{2}(x)=\bruch{1}{4}x^{2}+1[/mm]
> [mm]f_{3}:\{ z\in\IC | \parallel z \parallel \le1 \}\to\IC[/mm]
>
> [mm]f_{3}(x)=\bruch{1}{2}(z^{2}+i)[/mm]
> [mm]f_{4}:\IC(|0,1|)\to\IC(|0,1|)[/mm]
> [mm](f_{4}(x))(t)=\bruch{1}{2}x(t^{2})+\bruch{1}{2}[/mm]
> [mm]f_{5}:\IC(|0,1|)\to\IC(|0,1|)[/mm]
> [mm](f_{5}(x))(t)=x(t^{2})[/mm]
>
> a) Gilt [mm]\parallel f_{i}(x) -f_{i}(y) \parallel[/mm] < [mm]\parallel[/mm]
> x-y [mm]\parallel[/mm] für alle x,y [mm]\in D_{i},[/mm] mit [mm]x\not=y?[/mm]
> b) Gibt es ein [mm]L\in(0,1),[/mm] so dass [mm]\parallel f_{i}(x) -f_{i}(y) \parallel \le L\parallel[/mm]
> x-y [mm]\parallel[/mm] für alle x,y [mm]\in D_{i}?[/mm]
> c) Wieviele
> Fixpunkte hat [mm]f_{i}?[/mm]
>
> Die Normen sind der Betrag, der komplexe Betrag und auf
> [mm]\IC(|0,1|)[/mm] die [mm]\parallel .\parallel_{\infty}[/mm] Norm
> Hallo zusammen,
> hoffe ich habe hier nichts falsch gemacht bisher.
> Meine erste Frage ist zu Aufgabenteil c:
> In unserem Skript habe ich folgendes gefunden:
> T: D [mm]\to[/mm] D und y [mm]\in[/mm] D ist Fixpunkt wenn gilt : T(y)=y
> T ist eine Abbildung, die aus einer bekannten
> Approximation
> [mm]y_{n}[/mm] eine neue Approximation [mm]y_{n+1}[/mm] konstruiert.
> Meine Frage ist also, ob ich mir eine Funktion T suchen
> muss oder hier T= [mm]f_{i}[/mm] ist,
Ja
> was ich mir aber nicht
> vorstellen kann.
>
>
> Meine zweite Frage ist eher eine Kontrolle ob ich das alles
> soweit richtig verstanden und gemacht habe.
Ich würde Dir raten, zu jedem [mm] f_i [/mm] eine eigene Diskussion zu eröffnen !
Ich zeig Dir mal, wie ich mir das bei [mm] f_1 [/mm] und [mm] f_2 [/mm] vorstelle:
(dher lasse ich die Frage auf "halbbeantwortet)
>
> zu [mm]f_{1}:[/mm]
> a) habe da nach der letzten Umformung [mm]\parallel[/mm] x-y
> [mm]\parallel \parallel e^{-x}[/mm] - [mm]e^{-y}\parallel[/mm] < [mm]\parallel x-y\parallel[/mm]
Wie kommst Du auf so was ??
a) Nimm an, es würde [mm] |f_1(x)-f_1(y)|<|x-y| [/mm] gelten für alle x,y [mm] \in [/mm] [0, [mm] \infty) [/mm] mit x [mm] \ne [/mm] y.
Dann hätten wir (mit y=0): [mm] |x+e^x-1|
[mm] x+e^x-1
oder
[mm] e^x<1 [/mm] für alle x [mm] \ne [/mm] 0.
Das ist aber grßer Quark.
b) kannst Du ähnlich wie a) erledigen.
c) hätte [mm] f_1 [/mm] einen Fixpunkt x, so würde gelten: [mm] x+e^x=x, [/mm] also [mm] e^x=0.
[/mm]
Ist das Quark oder nicht ?
> also meiner Meinung nach gilt das nicht, da ja x [mm]\not=[/mm] y
> und von daher [mm]\parallel e^{-x}[/mm] - [mm]e^{-y}\parallel[/mm] >0
> b) nach der letzten Umformung habe ich da stehen
> [mm]\bruch{\parallel e^{-x} - e^{-y}\parallel}{\parallel x-y \parallel} \le[/mm]
> L-1. daraus folgt für mich dass L>1 sein muss da die linke
> seite positiv ist, also existiert kein L.
>
> zu [mm]f_{2}:[/mm]
> a)bin mir nicht sicher ob folgender Schritt erlaubt ist:
> [mm]\bruch{1}{4} \parallel x^{2}[/mm] - [mm]y^{2} \parallel[/mm] < [mm]\parallel[/mm]
> x-y [mm]\parallel[/mm]
> [mm]\Rightarrow \bruch{1}{4}\parallel[/mm] x+y [mm]\parallel \parallel[/mm]
> x-y [mm]\parallel <\parallel[/mm] x-y [mm]\parallel[/mm]
> dann würde folgen:
> [mm]\parallel[/mm] x+y [mm]\parallel[/mm] < 4, also wäre Aussage a)
> korrekt
> b) aus Aufgabenteil a) sollte folgen, dass L =
> [mm]\bruch{1}{4}\parallel[/mm] x+y [mm]\parallel[/mm] ist
Das ist doch Unfug ! Wenn solch ein L ex. , so ist es unabhängig von x und y !!
Für x,y [mm] \in [/mm] [0,1]:
[mm] |f_2(x)-f_2(y)|= 1/4|x^2-y^2|=1/4|x+y|*|x-y| \le [/mm] 1/4(|x|+|y|)|x-y| [mm] \le [/mm] 1/2|x-y|
Und dann ist natürlich für x [mm] \ne [/mm] y:
[mm] |f_2(x)-f_2(y)|<|x-y|
[/mm]
[mm] f_2 [/mm] hat in [0,1] einen Fixpunkt [mm] \gdw [/mm] die quadratische Gl. [mm] \bruch{1}{4}x^2+1=x [/mm] hat in [0,1] eine Lösung.
Ist letzteres richtig ?
FRED
> dachte aber L wäre konstant von daher macht das für mich
> keinen sinn.
>
> zu [mm]f_{3}:[/mm]
> habe da stehen
> [mm]\bruch{1}{2} \parallel x^{2}[/mm] - [mm]y^{2} \parallel[/mm] < [mm]\parallel[/mm]
> x-y [mm]\parallel[/mm]
> hier komme ich mit der Abschäzung nicht weiter. den bruch
> bekomme ich weg. aber danach kann ich doch nicht das [mm]x^{2}[/mm]
> - [mm]y^{2}[/mm] gegen das x-y abschätzen oder?
>
> zu [mm]f_{4}:[/mm]
> komme auf
> [mm]\bruch{1}{2} \parallel x(t^{2})[/mm] - [mm]y(t^{2}) \parallel[/mm] <
> [mm]\parallel[/mm] x-y [mm]\parallel[/mm]
> hier ist jetzt ja die Maximumsnorm anzuwenden. für die
> rechte seite kann ich mit das vorstellen, aber die linke
> mit dem [mm]x(t^{2})[/mm] verstehe ich nicht so ganz. Wird das t da
> maxmial oder das [mm]x(t^{2})?[/mm]
> zu [mm]f_{5}[/mm] ist dass dann ja ähnlich.
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
> Danke erstmal für eure Antworten.
> Gruß Thomas
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