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| Aufgabe | Sei f: [0, [mm] \infty) [/mm] -> [mm] \IR [/mm] folgendermaßen definiert:
[mm] f(x)=\begin{cases} 1, & \mbox{für } x \mbox{ = 0} \\ \bruch{sinx}{x}, & \mbox{für } \mbox{ sonst} \end{cases}
[/mm]
a) Zeigen sie, dass f stetig ist.
b) Beweisen Sie, dass die folgende Abschätzung für alle [mm] n\in\IN [/mm] gilt:
[mm] \bruch{2}{(n+1)\pi}\le(-1)^{n}\integral_{n\pi}^{(n+1)\pi}{f(x)dx}\le\bruch{2}{n\pi}
[/mm]
c) Zeigen Sie, dass f auf [0, [mm] \infty) [/mm] uneigentlich integrierbar ist.
d) Zeigen Sie, dass |f| auf [0, [mm] \infty) [/mm] nicht uneigentlich intergrierbar ist. |
Die Stetigkeit, sprich a) habe ich bereits gezeigt.
c) und d) sind Jonglieren mit Definitionen und Sätzen, das sehe ich.
Ich grüble schon etwas an der b) und komme nun nicht weiter(ein Ansatz, Hinweis a.d. Lösungweg wäre gut, denn ich wüsste jetzt auch nicht, wie ich das mit VI machen sollte).
Daher bitte ich euch hier um Hilfe.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:25 So 03.05.2015 | | Autor: | fred97 |
> Sei f: [0, [mm]\infty)[/mm] -> [mm]\IR[/mm] folgendermaßen definiert:
>
> [mm]f(x)=\begin{cases} 1, & \mbox{für } x \mbox{ = 0} \\ \bruch{sinx}{x}, & \mbox{für } \mbox{ sonst} \end{cases}[/mm]
>
> a) Zeigen sie, dass f stetig ist.
>
> b) Beweisen Sie, dass die folgende Abschätzung für alle
> [mm]n\in\IN[/mm] gilt:
>
> [mm]\bruch{2}{(n+1)\pi}\le(-1)^{n}\integral_{n\pi}^{(n+1)\pi}{f(x)dx}\le\bruch{2}{n\pi}[/mm]
>
> c) Zeigen Sie, dass f auf [0, [mm]\infty)[/mm] uneigentlich
> integrierbar ist.
>
> d) Zeigen Sie, dass |f| auf [0, [mm]\infty)[/mm] nicht uneigentlich
> intergrierbar ist.
> Die Stetigkeit, sprich a) habe ich bereits gezeigt.
>
> c) und d) sind Jonglieren mit Definitionen und Sätzen, das
> sehe ich.
>
> Ich grüble schon etwas an der b) und komme nun nicht
> weiter(ein Ansatz, Hinweis a.d. Lösungweg wäre gut, denn
> ich wüsste jetzt auch nicht, wie ich das mit VI machen
> sollte).
>
> Daher bitte ich euch hier um Hilfe.
Ist n [mm] \in \IN [/mm] , so gibt ess nach dem erweiterten Mittelwertsatz der Integralrechnung ein $t [mm] \in [/mm] [n [mm] \pi, [/mm] (n+1) [mm] \pi]$ [/mm] mit
[mm] \integral_{n\pi}^{(n+1)\pi}{f(x)dx}=\bruch{1}{t}*\integral_{n\pi}^{(n+1)\pi}{ \sin(x) dx}.
[/mm]
Das letzte Integral kannst Du locker ausrechnen.
FRED
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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[mm] \bruch{2cos(n\pi)}{t}?
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:32 So 03.05.2015 | | Autor: | Pi_Quadrat |
Ich habe es mal mit einem Aufteilen beider Ungleichungshälften probiert:
[mm] \bruch{2}{(n+1)\pi}\le\bruch{1}{2}f((n+1)^{2}\pi^{2} [/mm] - [mm] n\pi^2)
[/mm]
und
[mm] \bruch{1}{2}f((n+1)^{2}\pi^{2} [/mm] - [mm] n\pi^2)\le \bruch{2}{n\pi}
[/mm]
Ist das so weit in Ordnung?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 04:57 Mo 04.05.2015 | | Autor: | fred97 |
> ?
Es ist
$ [mm] \integral_{n\pi}^{(n+1)\pi}{f(x)dx}=\bruch{1}{t}\cdot{}\integral_{n\pi}^{(n+1)\pi}{ \sin(x) dx}=\bruch{2(-1)^n}{t}$
[/mm]
FRED
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Mir ist leider überhaupt nicht klar, was du hier gemacht hast, oder versucht hast zu tun.
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Wenn du noch das alternierende Vorzeichen [mm] $(-1)^n$ [/mm] mitnimmst, sollte dies tatsächlich richtig sein.
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Das was FRED jetzt dazu meinte oder die beiden Ungleichungen, die ich gepostet hatte?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:04 Mo 04.05.2015 | | Autor: | fred97 |
> Das was FRED jetzt dazu meinte oder die beiden
> Ungleichungen, die ich gepostet hatte?
Deine Ungleichungen hier
https://matheraum.de/read?i=1057477
sind nicht nachvollziehbar !
FRED
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Ehrlich gesagt, habe ich für die Ungleichungen Maple benutzt. Meine Annahme ist, dass Maple einfache (Un-)Gleichungsumformung durchgeführt hat.
Was ich nicht verstehe ist, wie ich die alternierende (-1) mitnehmen soll.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:32 Mo 04.05.2015 | | Autor: | Pi_Quadrat |
Meine Lösung so weit:
F is nach HS d. Diff - und IR a.d. I stetig und diffbar mit F(a) = 0 und F(b) = [mm] \integral_{a}^{b}{f(z)dz}. [/mm] Nach d. MWS d. Diff - rechnung folgt
Sei [mm] n\in\IR, [/mm] so gibt es nach dem erweiterten MWS d. IR ein[Aussage von FRED oben]...
[mm] \integral_{n\*\pi}^{(n+1)\*pi}{f(x) dx} [/mm] = [mm] \bruch{1}{t} \integral_{n\*\pi}^{(n+1)\*pi}{sin(x) dx} [/mm] = [mm] \bruch{2(-1)^{n}}{t}
[/mm]
Es gilt F(a) = 0 und F(b) = [mm] \bruch{\integral_{a}^{b}{f(z) dz}}{b-a}
[/mm]
Daraus folgt die obige Behauptung.
q.e.d.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:25 Mo 04.05.2015 | | Autor: | bezier |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo,
Alternative Beweisung von :
$ \bruch{2}{(n+1)\pi}\le(-1)^{n}\integral_{n\pi}^{(n+1)\pi}{f(x)dx}\le\bruch{2}{n\pi} $
Anfang :
$ {n \pi}\le x \le\( n+1)\pi} $
Wenn n Str. Positiv ist :
$ \bruch{1}{\pi n}\ge \bruch{1}{x} \ge\bruch{1}{ \pi (n+1)} $
Wenn sin( x ) Positiv ist für $ {n \pi}\le x \le\( n+1 )\pi} $ d.h. wenn n = 2 k :
$ \bruch{sin( x )}{\pi n}\ge \bruch{1}{x} sin( x )\ge\bruch{sin( x )}{\pi (n+1)} $
Durch Integrierung zwischen $ {n \pi} $ und ${( n+1)\pi} $ :
$ \bruch{- cos( ( n+1 ) \pi ) +cos( n \pi )}{\pi n}\ge \integral_{n\pi}^{(n+1)\pi}{f(x)dx}\ge\bruch{- cos( ( n+1 )\pi ) +cos( n \pi )}{\pi (n+1)} $
$ \bruch{2}{\pi n}\ge \integral_{n\pi}^{(n+1)\pi}{f(x)dx}\ge\bruch{2}{\pi (n+1)} $
Wenn sin( x ) Negativ ist, d.h. wenn n = 2 k + 1 :
$ \bruch{sin( x )}{\pi n}\le \bruch{1}{x} sin( x )\le\bruch{sin( x )}{\pi (n+1)} $
Durch Integrierung zwischen $ {n \pi} $ und ${( n+1)\pi} $ :
$ \bruch{- cos( ( n+1 ) \pi ) +cos( n \pi )}{\pi n}\le \integral_{n\pi}^{(n+1)\pi}{f(x)dx}\le\bruch{- cos( ( n+1 )\pi ) +cos( n \pi )}{\pi (n+1)} $
$ \bruch{-2}{\pi n}\le \integral_{n\pi}^{(n+1)\pi}{f(x)dx}\le\bruch{-2}{\pi (n+1)} $
$ \bruch{2}{\pi n}\ge - 1 \integral_{n\pi}^{(n+1)\pi}{f(x)dx}\ge\bruch{2}{\pi (n+1)} $
Beide Ergebnisse geben :
$ \bruch{2}{(n+1)\pi}\le(-1)^{n}\integral_{n\pi}^{(n+1)\pi}{f(x)dx}\le\bruch{2}{n\pi} $
Grüsse.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:52 Mo 04.05.2015 | | Autor: | fred97 |
Wir hatten:
$ [mm] \integral_{n\pi}^{(n+1)\pi}{f(x)dx}=\bruch{1}{t}\cdot{}\integral_{n\pi}^{(n+1)\pi}{ \sin(x) dx}=\bruch{2(-1)^n}{t} [/mm] $
Dann ist
[mm] $(-1)^n* \integral_{n\pi}^{(n+1)\pi}{f(x)dx}=\bruch{2}{t} [/mm] $
FRED
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