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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:36 Di 01.11.2005 | | Autor: | Dea |
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum auf einer anderen I-net-Seite gestellt.
Hallo!
Ich habe in einem Buch eine Aufgabe gefunden, die ich nachvollziehen möchte und bin auf ein paar Probleme gestoßen.
Die Aufgabe lautet:
"Seien [mm] b_{1}>b_{2}>...>b_{n} \in \IR, [/mm] n>1; [mm] \alpha_{m}>-1 [/mm] (m=1,...,n), [mm] \alpha_{1}+\alpha_{2}+...+\alpha_{n}<-1
[/mm]
f(z)= [mm] \produkt_{m=1}^{n}(z-b_{m})^{\alpha_{m}} [/mm] mit den HAuptwerten der Potenzen.
Der Cauchy-Integralsatz werde angewandt auf die von [mm] b_{1} [/mm] nach links längs der reellen Achse geschlitze Kreisscheibe [mm] |z|Max|b_{m}| [/mm] und der Grenzübergang [mm] r\to \infty [/mm] vollzogen. Wegen
[mm] r^{-\alpha_{m}}*|(z-b_{m})^{\alpha_{m}}|\le (1\pm \bruch{|b_{m}|}{r})^{\alpha_{m}} \to [/mm] 1 gilt [mm] z*f(z)\to [/mm] 0 gleichmäßig auf der Kreislinie. (usw)"
Meine Fragen:
1. Was heißt "mit den Hauptwerten der Potenzen"?? Ich hab das im weiteren bei meinen Überlegungen einfach mal ignoriert...
2. habe ich mal versucht, die Abschätzung
[mm] r^{-\alpha_{m}}*|(z-b_{m})^{\alpha_{m}}|\le (1\pm \bruch{|b_{m}|}{r})^{\alpha_{m}}
[/mm]
zu zeigen (auf der Kreislinie):
[mm] r^{-\alpha_{m}}*|(z-b_{m})^{\alpha_{m}}|=
[/mm]
[mm] r^{-\alpha_{m}}*|z-b_{m}|^{\alpha_{m}}=
[/mm]
[mm] (\bruch{1}{r})^{\alpha_{m}}*|z-b_{m}|^{\alpha_{m}}=
[/mm]
[mm] |\bruch{z}{r}-\bruch{b_{m}}{r}|^{\alpha_{m}}\le
[/mm]
[mm] (|(\bruch{z}{r})|+|(\bruch{b_{m}}{r})|)^{\alpha_{m}}=
[/mm]
[mm] (\bruch{|z|}{r}+\bruch{|b_{m}|}{r})^{\alpha_{m}}=
[/mm]
auf der Kreislinie gilt |z|=r
[mm] (1+\bruch{|b_{m}|}{r})^{\alpha_{m}}
[/mm]
und das geht für [mm] r\to \infty [/mm] gegen 1
Mein Problem: ich hab nur + statt [mm] \pm
[/mm]
Wie erhalte ich [mm] \pm [/mm] ?
3. Nun wollte ich mit Hilfe von (2.) zeigen, dass z*f(z) [mm] \to [/mm] 0 auf der Kreislinie:
auf der Kreislinie gilt ja [mm] z=r*\exp(it)
[/mm]
also ist für r>>1 (ich will ja den Fall [mm] r\to \infty)
[/mm]
[mm] |z*f(z)|=|r*\exp(it)*\produkt_{m=1}^{n}(r*e^{it}-b_{m})^{\alpha_{m}}|=
[/mm]
[mm] r*\produkt_{m=1}^{n}|r*\exp(it)-b_{m}|^{\alpha_{m}}<
[/mm]
da r>1 und [mm] \alpha_{1}+...+\alpha_{n}<-1 [/mm] ist [mm] r^{-(\alpha_{1}+...+\alpha_{n})} [/mm] >r
[mm] r^{-(\alpha_{1}+...+\alpha_{n})}*\produkt_{m=1}^{n}|r*\exp(it)-b_{m}|^{\alpha_{m}}=
[/mm]
[mm] \produkt_{m=1}^{n}r^{-\alpha_{m}}*|r*\exp(it)-b_{m}|^{\alpha_{m}}\le
[/mm]
nach 2.
[mm] \produkt_{m=1}^{n}(1\pm \bruch{|b_{m}|}{r})^{\alpha_{m}}
[/mm]
Jeder Faktor geht gegen 1, also auch das ganze Produkt...
Nun weiß ich aber nur, dass z*f(z) [mm] \le [/mm] (irgendwas, was gegen 1 geht) , ich kann aber nicht zeigen, dass es gegen 0 geht.
Wenn mir jemand helfen könnte, wäre ich sehr dankbar!
Liebe Grüße,
Dea
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:00 Do 03.11.2005 | | Autor: | Dea |
Hallo!
Es wär sehr wichtig für mich, zumindest zur Nr.3 eine Hilfestellung zu bekommen!
Wenn jemand einen Blick auf die Frage werfen könnte, wäre ich sehr dankbar! (Ich muss da nämlich in einem Seminar einen Vortrag darüber halten...)
Liebe Grüße,
Dea
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Hallo Dea,
> Die Aufgabe lautet:
>
>
> "Seien [mm]b_{1}>b_{2}>...>b_{n} \in \IR,[/mm] n>1; [mm]\alpha_{m}>-1[/mm]
> (m=1,...,n), [mm]\alpha_{1}+\alpha_{2}+...+\alpha_{n}<-1[/mm]
> f(z)= [mm]\produkt_{m=1}^{n}(z-b_{m})^{\alpha_{m}}[/mm] mit den
> HAuptwerten der Potenzen.
> Der Cauchy-Integralsatz werde angewandt auf die von [mm]b_{1}[/mm]
> nach links längs der reellen Achse geschlitze Kreisscheibe
> [mm]|z|Max|b_{m}|[/mm] und der Grenzübergang [mm]r\to \infty[/mm]
> vollzogen. Wegen
> [mm]r^{-\alpha_{m}}*|(z-b_{m})^{\alpha_{m}}|\le (1\pm \bruch{|b_{m}|}{r})^{\alpha_{m}} \to[/mm]
> 1 gilt [mm]z*f(z)\to[/mm] 0 gleichmäßig auf der Kreislinie. (usw)"
>
> Meine Fragen:
> 1. Was heißt "mit den Hauptwerten der Potenzen"?? Ich hab
> das im weiteren bei meinen Überlegungen einfach mal
> ignoriert...
Ich habe auch keine Ahnung...
> 2. habe ich mal versucht, die Abschätzung
> [mm]r^{-\alpha_{m}}*|(z-b_{m})^{\alpha_{m}}|\le (1\pm \bruch{|b_{m}|}{r})^{\alpha_{m}}[/mm]
>
> zu zeigen (auf der Kreislinie):
>
> [mm]r^{-\alpha_{m}}*|(z-b_{m})^{\alpha_{m}}|=[/mm]
> [mm]r^{-\alpha_{m}}*|z-b_{m}|^{\alpha_{m}}=[/mm]
> [mm](\bruch{1}{r})^{\alpha_{m}}*|z-b_{m}|^{\alpha_{m}}=[/mm]
> [mm]|\bruch{z}{r}-\bruch{b_{m}}{r}|^{\alpha_{m}}\le[/mm]
> [mm](|(\bruch{z}{r})|+|(\bruch{b_{m}}{r})|)^{\alpha_{m}}=[/mm]
> [mm](\bruch{|z|}{r}+\bruch{|b_{m}|}{r})^{\alpha_{m}}=[/mm]
>
> auf der Kreislinie gilt |z|=r
>
> [mm](1+\bruch{|b_{m}|}{r})^{\alpha_{m}}[/mm]
> und das geht für [mm]r\to \infty[/mm] gegen 1
>
> Mein Problem: ich hab nur + statt [mm]\pm[/mm]
> Wie erhalte ich [mm]\pm[/mm] ?
z/r hat seinen größten Abstand von dem reellne [mm] b_m/ [/mm] r, wenn es selber reell und zwar negativ ist: dann erhältst Du das von Dir abgeschätzte +. Wenn z/r aber positiv reell ist, hat es den kleinsten Abstand von [mm] b_m/r [/mm] und Du bekommst das -.
>
> 3. Nun wollte ich mit Hilfe von (2.) zeigen, dass z*f(z)
> [mm]\to[/mm] 0 auf der Kreislinie:
>
> auf der Kreislinie gilt ja [mm]z=r*\exp(it)[/mm]
> also ist für r>>1 (ich will ja den Fall [mm]r\to \infty)[/mm]
>
> [mm]|z*f(z)|=|r*\exp(it)*\produkt_{m=1}^{n}(r*e^{it}-b_{m})^{\alpha_{m}}|=[/mm]
> [mm]r*\produkt_{m=1}^{n}|r*\exp(it)-b_{m}|^{\alpha_{m}}<[/mm]
>
> da r>1 und [mm]\alpha_{1}+...+\alpha_{n}<-1[/mm] ist
> [mm]r^{-(\alpha_{1}+...+\alpha_{n})}[/mm] >r
Hier schätzt Du zu großzügig ab: erweitere r lieber mit [mm] \bruch{r^{-(\alpha_{1}+...+\alpha_{n})}}{r^{-(\alpha_{1}+...+\alpha_{n})}}, [/mm] dann kannst Du den Zähler wie unten reinziehen und draußen bleibt stehen
[mm] r^{1+(\alpha_{1}+...+\alpha_{n})} [/mm] := [mm] r^{k}
[/mm]
mit nach Voraussetzung negativem Exponenten k.
> [mm]r^{-(\alpha_{1}+...+\alpha_{n})}*\produkt_{m=1}^{n}|r*\exp(it)-b_{m}|^{\alpha_{m}}=[/mm]
>
> [mm]\produkt_{m=1}^{n}r^{-\alpha_{m}}*|r*\exp(it)-b_{m}|^{\alpha_{m}}\le[/mm]
>
> nach 2.
>
> [mm]\produkt_{m=1}^{n}(1\pm \bruch{|b_{m}|}{r})^{\alpha_{m}}[/mm]
Hier fehlt noch der Vorfaktor [mm] r^{k}, [/mm] der wegen k<0 mit großem r gegen 0 geht. denn:
> Jeder Faktor geht gegen 1, also auch das ganze Produkt...
> Nun weiß ich aber nur, dass z*f(z) [mm]\le[/mm] (irgendwas, was
> gegen 1 geht) , ich kann aber nicht zeigen, dass es gegen 0
> geht.
Wegen des fehlenden [mm] r^{k}.
[/mm]
Liebe Grüße,
Richard
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