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Abschätzung: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 06:57 Fr 27.11.2020
Autor: sancho1980

Aufgabe
Seien $x, [mm] x_0, [/mm] y, [mm] y_0 \in \mathbb{R}$, [/mm] und sei [mm] $\epsilon [/mm] > 0$ vorgegeben. Beweisen Sie:

Wenn [mm] $\vert [/mm] x - [mm] x_0 \vert [/mm] < min(1, [mm] \frac{\epsilon}{2(\vert y_0 \vert + 1)})$ [/mm] und [mm] $\vert [/mm] y - [mm] y_0 \vert [/mm] < [mm] \frac{\epsilon}{2(\vert x_0 \vert + 1)}$, [/mm] dann gilt [mm] $\vert [/mm] xy - [mm] x_0 y_0 \vert [/mm] < [mm] \epsilon$. [/mm]

Hallo,

ich versuche mich an dieser Aufgabe indem ich bei [mm] $\vert [/mm] xy - [mm] x_0 y_0 \vert [/mm] < [mm] \epsilon$ [/mm] starte und versuche, zu einer wahren Aussage zu kommen. Leider weiß ich irgendwo nicht weiter:

[mm] $\vert [/mm] xy - [mm] x_0 y_0 \vert [/mm] < [mm] \epsilon \Leftrightarrow \vert [/mm] x(y - [mm] y_0) [/mm] + [mm] y_0(x [/mm] - [mm] x_0) \vert [/mm] < [mm] \epsilon \Leftarrow \vert [/mm] x(y - [mm] y_0) \vert [/mm] + [mm] \vert y_0(x [/mm] - [mm] x_0) \vert [/mm] < [mm] \epsilon \Leftrightarrow \vert [/mm] x [mm] \vert \vert [/mm] y - [mm] y_0 \vert [/mm] + [mm] \vert y_0 \vert \vert [/mm] x - [mm] x_0 \vert [/mm] < [mm] \epsilon \Leftarrow \frac{\vert x \vert \epsilon}{2(\vert x_0 \vert + 1)} [/mm] + [mm] \vert y_0 \vert \vert [/mm] x - [mm] x_0 \vert [/mm] < [mm] \epsilon \Leftrightarrow \vert y_0 \vert \vert [/mm] x - [mm] x_0 \vert [/mm] < [mm] \epsilon [/mm] - [mm] \frac{\vert x \vert \epsilon}{2(\vert x_0 \vert + 1)} \Leftrightarrow \vert y_0 \vert \vert [/mm] x - [mm] x_0 \vert [/mm] < [mm] \epsilon [/mm] (1 - [mm] \frac{\vert x \vert}{2(\vert x_0 \vert + 1)}) \Leftrightarrow\frac{x - x_0}{1 - \frac{\vert x \vert}{2(\vert x_0 \vert + 1)}} [/mm] < [mm] \frac{\epsilon}{\vert y_0 \vert} \Leftrightarrow \frac{\vert x - x_0 \vert 2(\vert x_0 \vert + 1)}{2(\vert x_0 \vert + 1) - \vert x \vert} [/mm] < [mm] \frac{\epsilon}{\vert y_0 \vert} \Leftrightarrow \frac{\vert x - x_0 \vert (\vert x_0 \vert + 1)}{2(\vert x_0 \vert + 1) - \vert x \vert} [/mm] < [mm] \frac{\epsilon}{2 \vert y_0 \vert}$ [/mm]

Vielen Dank und Gruß,

Martin

        
Bezug
Abschätzung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:40 Fr 27.11.2020
Autor: fred97


> Seien [mm]x, x_0, y, y_0 \in \mathbb{R}[/mm], und sei [mm]\epsilon > 0[/mm]
> vorgegeben. Beweisen Sie:
>  
> Wenn [mm]\vert x - x_0 \vert < min(1, \frac{\epsilon}{2(\vert y_0 \vert + 1)})[/mm]
> und [mm]\vert y - y_0 \vert < \frac{\epsilon}{2(\vert x_0 \vert + 1)}[/mm],
> dann gilt [mm]\vert xy - x_0 y_0 \vert < \epsilon[/mm].
>  Hallo,
>  
> ich versuche mich an dieser Aufgabe indem ich bei [mm]\vert xy - x_0 y_0 \vert < \epsilon[/mm]
> starte und versuche, zu einer wahren Aussage zu kommen.

Das ist keine gute Idee !


> Leider weiß ich irgendwo nicht weiter:
>  
> [mm]\vert xy - x_0 y_0 \vert < \epsilon \Leftrightarrow \vert x(y - y_0) + y_0(x - x_0) \vert < \epsilon \Leftarrow \vert x(y - y_0) \vert + \vert y_0(x - x_0) \vert < \epsilon \Leftrightarrow \vert x \vert \vert y - y_0 \vert + \vert y_0 \vert \vert x - x_0 \vert < \epsilon \Leftarrow \frac{\vert x \vert \epsilon}{2(\vert x_0 \vert + 1)} + \vert y_0 \vert \vert x - x_0 \vert < \epsilon \Leftrightarrow \vert y_0 \vert \vert x - x_0 \vert < \epsilon - \frac{\vert x \vert \epsilon}{2(\vert x_0 \vert + 1)} \Leftrightarrow \vert y_0 \vert \vert x - x_0 \vert < \epsilon (1 - \frac{\vert x \vert}{2(\vert x_0 \vert + 1)}) \Leftrightarrow\frac{x - x_0}{1 - \frac{\vert x \vert}{2(\vert x_0 \vert + 1)}} < \frac{\epsilon}{\vert y_0 \vert} \Leftrightarrow \frac{\vert x - x_0 \vert 2(\vert x_0 \vert + 1)}{2(\vert x_0 \vert + 1) - \vert x \vert} < \frac{\epsilon}{\vert y_0 \vert} \Leftrightarrow \frac{\vert x - x_0 \vert (\vert x_0 \vert + 1)}{2(\vert x_0 \vert + 1) - \vert x \vert} < \frac{\epsilon}{2 \vert y_0 \vert}[/mm]
>  
> Vielen Dank und Gruß,
>  
> Martin


1. Schritt: [mm] $|x|=|x-x_0+x_0| \le |x-x_0|+|x_0| <1+|x_0|. [/mm]

Wir merken uns  (1): $|x| [mm] <1+|x_0|.$ [/mm]

2. Schritt:

[mm] $|xy-x_0y_0| =|xy-xy_0+xy_0-x_0y_0| =|x(y-y_0)+y_0(x-x_0)| [/mm] $

Mit der Dreiecksungleichung bekommen wir

(2)  [mm] $|xy-x_0y_0| \le |x||y-y_0|+|y_0||x-x_0|<(1+|x_0|)(|y-y_0|+|y_0||x-x_0|$ [/mm]

Hier wurde (1) verwendet.

Nun ist  

(3)  $ [mm] \vert [/mm] y - [mm] y_0 \vert [/mm] < [mm] \frac{\epsilon}{2(\vert x_0 \vert + 1)} [/mm] $

und  

[mm] $\vert [/mm] x - [mm] x_0 \vert [/mm] < [mm] \frac{\epsilon}{2(\vert y_0 \vert + 1)}) [/mm] $

Die letzte Ungleichung liefert noch

(4) [mm] |x-x_0| <\epsilon/2.$ [/mm]

Setze (3) und (4) in die Ungleichung (2) ein, dann bekommst Du

   $ [mm] \vert [/mm] xy - [mm] x_0 y_0 \vert [/mm] < [mm] \epsilon/2+ \epsilon/2 [/mm] = [mm] \epsilon [/mm] $.




Bezug
                
Bezug
Abschätzung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:05 Fr 27.11.2020
Autor: sancho1980

Oh Gott, darauf wär ich nie im Leben gekommen ..

Bezug
                
Bezug
Abschätzung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:39 Fr 27.11.2020
Autor: sancho1980

Moment, ich dachte grad ich hätte es, aber sowie ich es gerade sauber aufschreiben will, merke ich Folgendes:

Mit [mm] $\vert [/mm] x - [mm] x_0 \vert [/mm] < min(1, [mm] \frac{\epsilon}{2(\vert y_0 \vert + 1)})$ [/mm] folgt:
1) [mm] $\vert [/mm] x - [mm] x_0 \vert [/mm] < [mm] \frac{\epsilon}{2}$ [/mm]
2) [mm] $\vert [/mm] x [mm] \vert [/mm] = [mm] \vert [/mm] x - [mm] x_0 [/mm] + [mm] x_0 \vert \le \vert [/mm] x - [mm] x_0 \vert [/mm] + [mm] \vert x_0 \vert [/mm] < 1 + [mm] \vert x_0 \vert$ [/mm]

Damit folgt:

[mm] $\vert [/mm] xy - [mm] x_0 y_0 \vert [/mm] = [mm] \vert [/mm] xy - x [mm] y_0 [/mm] + x [mm] y_0 [/mm] - [mm] x_0 y_0 \vert [/mm] = [mm] \vert [/mm] x(y - [mm] y_0) [/mm] + [mm] y_0(x [/mm] - [mm] x_0) \vert \le \vert [/mm] x [mm] \vert \vert [/mm] y - [mm] y_0 \vert [/mm] + [mm] \vert y_0 \vert \vert [/mm] x - [mm] x_0 \vert [/mm] < (1 + [mm] \vert x_0 \vert) \vert [/mm] y - [mm] y_0 \vert [/mm] + [mm] \vert y_0 \vert \vert [/mm] x - [mm] x_0 \vert [/mm] < (1 + [mm] \vert x_0 \vert)(\frac{\epsilon}{2(\vert x_0 \vert + 1)}) [/mm] + [mm] \vert y_0 \vert (\frac{\epsilon}{2})$. [/mm]

Wie bekomme ich denn jetzt das [mm] $\vert y_0 \vert$ [/mm] noch weg?

Bezug
                        
Bezug
Abschätzung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 06:55 Sa 28.11.2020
Autor: tobit09

Hallo Martin!

Schön, dass du die Aufgabe selbst lösen möchtest! [ok]

> Mit [mm]\vert x - x_0 \vert < min(1, \frac{\epsilon}{2(\vert y_0 \vert + 1)})[/mm]
> folgt:
>  1) [mm]\vert x - x_0 \vert < \frac{\epsilon}{2}[/mm]
>  2) [mm]\vert x \vert = \vert x - x_0 + x_0 \vert \le \vert x - x_0 \vert + \vert x_0 \vert < 1 + \vert x_0 \vert[/mm]

Ja.

> Damit folgt:
>  
> [mm]\vert xy - x_0 y_0 \vert = \vert xy - x y_0 + x y_0 - x_0 y_0 \vert = \vert x(y - y_0) + y_0(x - x_0) \vert \le \vert x \vert \vert y - y_0 \vert + \vert y_0 \vert \vert x - x_0 \vert < (1 + \vert x_0 \vert) \vert y - y_0 \vert + \vert y_0 \vert \vert x - x_0 \vert < (1 + \vert x_0 \vert)(\frac{\epsilon}{2(\vert x_0 \vert + 1)}) + \vert y_0 \vert (\frac{\epsilon}{2})[/mm].

Ja.

> Wie bekomme ich denn jetzt das [mm]\vert y_0 \vert[/mm] noch weg?

Leider gar nicht, denn [mm] $|y_0|$ [/mm] kann ja durchaus "groß" sein.
Du hast zu grob abgeschätzt und aus der Voraussetzung [mm] $|x-x_0|<\frac{\epsilon}{2(|y_0|+1)}$ [/mm] nur [mm] $|x-x_0|<\frac{\epsilon}{2}$ [/mm] entnommen.
Wenn du in deiner letzten Gleichungskette [mm] $|x-x_0|<\frac{\epsilon}{2(|y_0|+1)}$ [/mm] statt [mm] $|x-x_0|<\frac{\epsilon}{2}$ [/mm] nutzt, solltest du zum Ziel kommen! :-)

Deine Ungleichungskette ist übrigens sehr viel schöner aufgeschrieben als deine Umformungen aus dem Startpost! [ok]

Viele Grüße
Tobias

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