Abschätzung < Sonstiges < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:35 Mi 21.03.2007 | | Autor: | barsch |
| Aufgabe | | Es ist zu zeigen, dass für [mm] \alpha\in(0,1) [/mm] und [mm] x,y\ge0 [/mm] die Abschätzung [mm] x^{\alpha}*y^{1-\alpha}\le\alpha*x+(1-\alpha)*y [/mm] gilt. |
Nicht gleich geschockt sein. 
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
Ich habe mir folgendes gedacht:
O.B.d.A. sei x>0. Desweiteren habe ich das zuerst umgestellt auf:
[mm] f(x)=\alpha*x+(1-\alpha)*y-x^{\alpha}*y^{1-\alpha}=\alpha*x+1y-\alpha*y-x^{\alpha}*y^{1-\alpha}
[/mm]
Es ist zu zeigen, dass [mm] 0\le [/mm] f(x)
Es gibt drei Fälle, die zu untersuchen sind:
Der 1.: x=y [mm] \Rightarrow [/mm] f(y)=0
Beim 2. (x<y) und 3. Fall (x>y) wird hier mit Mittelwertsatz (MWS) argumentiert und gesagt, dass [mm] f'(x)\ge0 [/mm] ist.
1. Frage: Gilt [mm] f(x)\ge0 \gdw f'(x)\ge0 [/mm] immer? Wenn nicht, warum geht das hier?
2. Frage: In der Argumentation der Mitschrift steht folgende Zeile:
f(x) [mm] =f(x)-f(y)=f'(\varepsilon)*(x-y) [/mm] ,das ist der MWS umgestellt. Stimmt das f(x) am Anfang? Warum?
Warum geht f(x) [mm] =f(x)-f(y)=f'(\varepsilon)*(x-y)? [/mm] Das ist ausschlaggebend für die übrigen Rechenweg.
Weil im folgenden einfach gezeigt wird, dass [mm] f'(\varepsilon)*(x-y)\ge0
[/mm]
Wenn sich zu dieser Vorgehensweise jmd. äußern könnte (heißt, warum dieser Weg gewählt wird), würde ich mich freuen.
Wenn mir die 2 Sachen jemand gut erklären könnte, reicht das aber auch schon. Dann komme ich evtl. selbst dahinter.
Vielen Dank für eure Geduld und Antwort. (Ist ja schon eine sehr, sehr lange Frage.)
Danke.
MfG
|
|
| |
|
Hallo,
ich glaube, zu einer Frage kann ich was beisteuern:
also du hast zusammengefasst zu(ich schreibe mal a statt [mm] \alpha [/mm] - ist weniger Arbeit  )
[mm] f(x)=ax+y-ay-x^{a}y^{1-a}
[/mm]
Aber damit ist doch [mm] f(y)=ay+y-ay-y^{a}y^{1-a}=0 [/mm] !!!!
Also f(x)=f(x)-0=f(x)-f(y) und dann weiter mit dem MWS
Hoffe, das kommt hin - den Rest schau ich mir gleich auch mal an, ist sehr interessant
LG
schachuzipus
|
|
|
| |
|
Hallo nochmal,
ich glaube, ich hab noch etwas entschlüsselt ![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]")
Also [mm] f(x)=ax+y-ay-x^{a}y^{1-a} [/mm] ist stetig, da aus stetigen Bröckchen zusammengesetzt und diffbar
[mm] f'(x)=a-ax^{a-1}y^{1-a}=a(1-[x^{-(1-a)}y^{1-a}])=a\left(1-\left[\bruch{y}{x}\right]^{1-a}\right)
[/mm]
So nun ist 1-a im Exponenten >0 da [mm] a\in [/mm] (0,1)
1.Fall: x>y: [mm] \Rightarrow \bruch{y}{x}<1 \Rightarrow \left(\bruch{y}{x}\right)^{1-a}<1 \Rightarrow [/mm] f'(x)>0 (oben abschätzen Klammer >0 und a>0)
Außerdem ist f(y)=0
Also x>y und f(y)=0 und f (streng) monoton steigend [mm] \Rightarrow [/mm] f(x)>f(y),
also f(x)>0 auf (y,x) [mm] \Rightarrow [/mm] der Rest mit dem MWS
2.Fall: x<y:
[mm] \Rightarrow \bruch{y}{x}>1 \Rightarrow \left(\bruch{y}{x}\right)^{1-a}>1 \Rightarrow [/mm] f'(x)<0
also x<y und f monoton fallend und f(y)=0 [mm] \Rightarrow [/mm] f(x)>f(y)
also wieder f(x)>0 auf (x,y) und dann wieder den MWS
Ich hoffe, das kommt in etwa hin
Gruß
schachuzipus
|
|
|
|
