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Forum "Funktionalanalysis" - Abschätzung Norm
Abschätzung Norm < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Abschätzung Norm: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:19 Sa 23.06.2012
Autor: Infty

Aufgabe
Zu zeigen ist:
[mm] $||x||_1 \leq \sqrt{n} ||x||_2$ [/mm]

hi!
In meiner Lösung steht:
[mm] $\begin{matrix} ||x||_1&=&\sum_{i=1}^{n}|x_i| \\ \ & =& <\begin{pmatrix}x_1 \\ \vdots \\x_n\end{pmatrix},\begin{pmatrix} \operatorname{sign}(x_1) \\ \vdots \operatorname{sign}(x_n)\end{pmatrix}>_2\\ \ &\leq & ||x||_2 \cdot \sqrt{n} \end{matrix} [/mm]

Ich verstehe noch woher das Skalarprodukt kommt aber wie daraus die Ungleichung folgen soll ist mir ein Rätsel. Kapiert das jemand von euch?

Schonmal vielen Dank!

        
Bezug
Abschätzung Norm: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:31 Sa 23.06.2012
Autor: Teufel

Hi!

Es gilt ganz allgemein $|x|=x*sign(x)$. Das kannst du leicht sehen, indem du die Gleichung für $x>0$ und [mm] $x\le [/mm] 0$ prüfst. Daher kannst du sie Summe so als Standardskalarprodukt schreiben [mm] (=\summe_{i=1}^{n}x_iy_i). [/mm]

Die letzte Ungleichung ist die []Cauchy-Schwarzsche Ungleichung angewendet auf das Skalarprodukt.

Bezug
                
Bezug
Abschätzung Norm: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:16 Sa 23.06.2012
Autor: Infty

Aber wie ändert sich die Norm durch die Cauchy-Schwarz-Ungleichung zu [mm] $||x||_2$? [/mm]

Bezug
                        
Bezug
Abschätzung Norm: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:26 Sa 23.06.2012
Autor: Helbig


> Aber wie ändert sich die Norm durch die
> Cauchy-Schwarz-Ungleichung zu [mm]||x||_2[/mm]?

Wende die Cauchy-Schwarz-Ungleichung auf die Vektoren $x$ und $y$ mit [mm] $y_k=\mathrm{sign} (x_k), 1\le [/mm] k [mm] \le [/mm] n$, an.

Gruß,
Wolfgang

Bezug
                        
Bezug
Abschätzung Norm: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:25 Sa 23.06.2012
Autor: Teufel

Das liegt daran, dass das verwendete Vektorprodukt ein Vektorprodukt aus dem [mm] \IR^2 [/mm] ist!

Bezug
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