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Abschätzung holomorphe Fkt: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:18 Fr 31.01.2014
Autor: Roodie

Aufgabe
Sei [mm] $B(z_0,r)$ [/mm] der Kreis um [mm] $z_0$ [/mm] mit Radius $r$. Die Funktion [mm] $f:B(z_0,r)\rightarrow\IC$ [/mm] sei holomorph mit $f(0)=0$ und [mm] $|f(z)|\leq [/mm] e$.
Zeigen Sie, dass [mm] $|f(z)|\leq \frac{e\cdot|z-z_0|}{r} [/mm] gilt.

Hallo!

Diese Aufgabe macht mir momentan zu schaffen. Ich habe mit dem Cauchyschen Integralsatz versucht, die Funktion abzuschätzen, bekomme jedoch mit der Standardabschätzung für Integrale nur folgendes raus:

[mm] $|f(z)|=|\frac{1}{2pi}\int_{\partial B(z_0,r)}\frac{f(\varphi)}{\varphi -z}d\varphi|\leq\frac{1}{2\pi} L(B(z_0,r)) max({\frac{f(\varphi)}{\varphi-z}})_{\partial B(z_0,r)}\leq\frac{2\pi r}{2\pi}\cdot e\cdot max({\frac{1}{\varphi-z}})_{\partial B(z_0,r)}\leq r\cdot e\cdot \frac{1}{r-|z-z_0|}$ [/mm]

Das passt irgendwie nicht zusammen.
Ich habe außerdem versucht, den Kreis [mm] B(z_0,r) [/mm] biholomorph auf den Einheitskreis abzubilden und die Eigenschaft dann dort zu zeigen. aber auch für den Fall [mm] z_0=0 [/mm] und $r=1$ bekomme ich nicht das Richtige raus.

Wie kann ich weitermachen? Hat jemand einen Tipp?

Grüße!
R00d


Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Abschätzung holomorphe Fkt: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:34 Fr 31.01.2014
Autor: fred97


> Sei [mm]B(z_0,r)[/mm] der Kreis um [mm]z_0[/mm] mit Radius [mm]r[/mm]. Die Funktion
> [mm]f:B(z_0,r)\rightarrow\IC[/mm] sei holomorph mit [mm]f(0)=0[/mm]

Hast Du Dich vertippt ? Steht da nicht [mm] f(z_0)=0 [/mm] ?

>  und
> [mm]|f(z)|\leq e[/mm].

Ich vermute, dass das für alle z aus [mm] B(z_0,r) [/mm] gelten soll, richtig ?


>  Zeigen Sie, dass [mm]$|f(z)|\leq \frac{e\cdot|z-z_0|}{r}[/mm]
> gilt.
>  Hallo!
>  
> Diese Aufgabe macht mir momentan zu schaffen. Ich habe mit
> dem Cauchyschen Integralsatz versucht, die Funktion
> abzuschätzen, bekomme jedoch mit der Standardabschätzung
> für Integrale nur folgendes raus:
>  
> [mm]|f(z)|=|\frac{1}{2pi}\int_{\partial B(z_0,r)}\frac{f(\varphi)}{\varphi -z}d\varphi| > \leq\frac{1}{2\pi} L(B(z_0,r)) max({\frac{f(\varphi)}{\varphi-z}})_{\partial B(z_0,r)}\leq\frac{2\pi r}{2\pi}\cdot e\cdot max({\frac{1}{\varphi-z}})_{\partial B(z_0,r)}\leq r\cdot e\cdot \frac{1}{r-|z-z_0|}[/mm]


Das geht ja schon mal in die Hose ! [mm] \partial B(z_0,r) [/mm] gehört nicht zum Def. -Bereich von f !



>  
> Das passt irgendwie nicht zusammen.
>  Ich habe außerdem versucht, den Kreis [mm]B(z_0,r)[/mm]
> biholomorph auf den Einheitskreis abzubilden und die
> Eigenschaft dann dort zu zeigen. aber auch für den Fall
> [mm]z_0=0[/mm] und [mm]r=1[/mm] bekomme ich nicht das Richtige raus.


Die Idee ist nicht schlecht ! Definiere [mm] \phi:B(z_0,r) \to [/mm] B(0,1) durch

     [mm] \phi(z)=\bruch{z-z_0}{r} [/mm]

und g:B(0,1) [mm] \to \IC [/mm] durch [mm] g:=\bruch{1}{e}(f \circ \phi^{-1}). [/mm]

Zeige, dass g die Voraussetzungen des Lemmas von Schwarz erfüllt.


Damit haben wir: (*) |g(z)| [mm] \le [/mm] |z|  für alle z mit |z|<1

Löse die Def. - Gleichung von g nach f auf und benutze (*)

FRED

>  
> Wie kann ich weitermachen? Hat jemand einen Tipp?
>  
> Grüße!
>  R00d
>  
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.


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