Abschätzung kompl. Zahlen II < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:57 Mo 09.04.2007 | | Autor: | Fry |
Hallo alle zusammen!
Hab noch eine weitere Sache, bei der ich auf´m Schlauch stehe:
Also ullim hatte ja schon die Abschätzung [mm] |w^{-z}e^{w}| \le e^{\pi|y|}*|w|^{-x}*e^{Re w} [/mm] für z= x+iy, w [mm] \in \IC^{-} [/mm] bewiesen.
Jetzt geht es um folgendes Problem: Laut meinen FT-Buch soll mit der obigen Abschätzung und [mm] \limes_{t\rightarrow\infty} |t-c|^{q} *e^{-1/2*t} [/mm] = 0 für jedes q [mm] \in \IR [/mm] folgen:
Es gibt ein [mm] t_{0}, [/mm] so dass [mm] max_{z \in S} |w^{-z}e^{w}| \le e^{\pi|y|}e^{-1/2*t} [/mm] für alle w = [mm] \gamma(t) [/mm] = c - t , [mm] t\ge t_{0} [/mm] und S= [a,b] x [mm] i\IR. [/mm] Warum ?
Also später wird über den geradenförmigen Weg [mm] \gamma [/mm] integriert, daher wird dieser eingeführt. S ist ein Streifen in der Ebene. c ist eine feste Zahl, die auf dem Ball um 0 mit Radius s liegt, das ist wohl eher nicht so wichtig.
Also [mm] |t-c|^{q} [/mm] entspricht ja [mm] |w|^{-x} [/mm] und der erste Term wächst langsamer als [mm] e^{1/2t}. [/mm] D.h. es gibt also ein M, so dass [mm] |t-c|^{q} \le [/mm] M*e^(1/2t), z.b. M = 1 oder ? Oder hängt der Term [mm] e^{-1/2*t} [/mm] mit [mm] e^{Re z} [/mm] zusammen ?
Hab irgendwie nicht so eine richtige Ahnung, warum es so sein sollte.
Würde mich über eure Hilfe freuen. Danke.
LG
Fry
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:56 Do 12.04.2007 | | Autor: | Fry |
Hat niemand eine Idee ?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:14 Do 12.04.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Hallo alle zusammen!
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> Hab noch eine weitere Sache, bei der ich auf´m Schlauch
> stehe:
> Also ullim hatte ja schon die Abschätzung [mm]|w^{-z}e^{w}| \le e^{\pi|y|}*|w|^{-x}*e^{Re w}[/mm]
> für z= x+iy, w [mm]\in \IC^{-}[/mm] bewiesen.
>
> Jetzt geht es um folgendes Problem: Laut meinen FT-Buch
> soll mit der obigen Abschätzung und
> [mm]\limes_{t\rightarrow\infty} |t-c|^{q} *e^{-1/2*t}[/mm] = 0 für
> jedes q [mm]\in \IR[/mm] folgen:
> Es gibt ein [mm]t_{0},[/mm] so dass [mm]max_{z \in S} |w^{-z}e^{w}| \le e^{\pi|y|}e^{-1/2*t}[/mm]
steht hier [mm] e^{-1/2*t} [/mm] oder [mm] e^{+1/2*t}
[/mm]
sonst gilt ja:
aus [mm]\limes_{t\rightarrow\infty} |t-c|^{q} *e^{-1/2*t}[/mm] = 0 folgt:
zu JEDEM [mm] \varepsilon>0 [/mm] gibt es ein [mm] t_0 [/mm] so dass fuer alle [mm] t>t_0 [/mm] gilt :
[mm] |t-c|^{q} *e^{-1/2*t}<\varepsilon. [/mm] die ungleichung mit nem bel [mm] \varepsilon [/mm] also auch 1 so umformen, wie du sie brauchst!
> für alle w = [mm]\gamma(t)[/mm] = c - t , [mm]t\ge t_{0}[/mm] und S= [a,b] x
> [mm]i\IR.[/mm] Warum ?
Gruss leduart
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