Abschätzung mit Cauchyverteil. < Wahrscheinlichkeit < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Guten Abend
In einem Buch, welches ich zur Zeit lese, steht folgende Abschätzung:
[mm] $$\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp{(-\frac{1}{2}x^2)}\le [/mm] const. [mm] \frac{1}{\pi(1+x^2)}$$
[/mm]
Für eine Konstante $const.$. Es wird also die Dichtefunktion einer Standardnormalverteilung mit der Dichtefunktion einer Standardcauchyverteilung abgeschätzt. Wie genau kommt diese Abschätzung zustande?
Danke für eure Hilfe
Liebe Grüsse
Marianne88
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 02:13 Mo 01.10.2012 | | Autor: | Gonozal_IX |
Hiho,
> Wie genau kommt diese Abschätzung zustande?
was meinst du damit?
Warum man das macht?
Ob diese Ungleichung stimmt?
Wie man das zeigt?
Deine Frage ist nicht so ganz eindeutig....
MFG
Gono.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:41 Mo 01.10.2012 | | Autor: | fred97 |
> Guten Abend
>
> In einem Buch, welches ich zur Zeit lese, steht folgende
> Abschätzung:
>
> [mm]\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp{(-\frac{1}{2}x^2)}\le const. \frac{1}{\pi(1+x^2)}[/mm]
>
> Für eine Konstante [mm]const.[/mm]. Es wird also die Dichtefunktion
> einer Standardnormalverteilung mit der Dichtefunktion einer
> Standardcauchyverteilung abgeschätzt. Wie genau kommt
> diese Abschätzung zustande?
Es genügt zu zeigen, dass die Funktion $f(t):= [mm] \bruch{1+t}{e^{1/2t}}$ [/mm] auf $[0, [mm] \infty)$ [/mm] beschränkt ist.
Das ist aber einfach zu sehen, denn f(t) [mm] \to [/mm] 0 für t [mm] \to \infty.
[/mm]
FRED
>
> Danke für eure Hilfe
>
>
> Liebe Grüsse
>
> Marianne88
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Guten Tag fred
Danke für deine Anwort. du betrachtest dein $f$ nur auf [mm] $[0,\infty)$, [/mm] da die Funktionen symmetrisch um $0$ sind?
Im Buch hat es am Ende eine Aufgabe, ich soll eine Konstante finden, so dass die Ungleichung richtig ist. Wie kann ich diese finden?
Liebe Grüsse
Marianne
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:14 Mo 01.10.2012 | | Autor: | fred97 |
> Guten Tag fred
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> Danke für deine Anwort. du betrachtest dein [mm]f[/mm] nur auf
> [mm][0,\infty)[/mm], da die Funktionen symmetrisch um [mm]0[/mm] sind?
Ich hab [mm] x^2 [/mm] durch t ersetzt.
>
> Im Buch hat es am Ende eine Aufgabe, ich soll eine
> Konstante finden, so dass die Ungleichung richtig ist. Wie
> kann ich diese finden?
Bestimme das Maximum von f auf [0, [mm] \infty)
[/mm]
FRED
>
> Liebe Grüsse
>
> Marianne
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Guten Tag fred
Ich kriege folgendes:
[mm] $f(t):=\frac{g(t)}{h(t)}$ [/mm] somit ist [mm] $f'(t)=\frac{1}{\exp{(\frac{t}{2})}}(\frac{1}{2}-\frac{t}{2})$. [/mm] Es soll gelten, dass $f'(t)=0$, dass heisst für $t=1$ haben wir eine Extremalstelle. Da [mm] $f''(t)=\frac{1}{\exp{(\frac{t}{2})}}(\frac{t}{4}-\frac{3}{4})$ [/mm] ist für $t=1$ negativ, somit ein relatives Maximum. Ich muss die Konstante so wählen, dass [mm] $\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\le [/mm] const [mm] \frac{1}{\pi}$, [/mm] d.h. es muss gelten [mm] $const\ge \sqrt{\frac{\pi}{2}}$
[/mm]
Ist meine Antwort korrekt?
Danke für deine Hilfe.
Liebe Grüsse
Marianne
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Die Ableitung von [mm]f[/mm] stimmt, die Berechnung mit der Quotientenregel ist nur ein bißchen umständlich. Auch daß [mm]f[/mm] bei 1 sein Maximum annimmt, stimmt. Allerdings spielt der Wert [mm]M[/mm] dieses Maximums bei deinen weiteren Überlegungen, die ich nicht nachvollziehen kann, anscheinend keine Rolle mehr. Das sollte er aber. Aus
[mm]f(t) \leq M \, , \ \ t \geq 0[/mm]
gewinnst du durch Einsetzen des Funktionsterms und Auflösen nach dem Exponentialfaktor
[mm]\operatorname{e}^{- \frac{1}{2}t} \leq \frac{M}{1+t}[/mm]
Jetzt setze hierin [mm]t=x^2[/mm] und multipliziere mit [mm]\frac{1}{\sqrt{2 \pi}}[/mm] durch. Die gesuchte Konstante kannst du ablesen, wenn du rechts noch mit [mm]\pi[/mm] erweiterst.
Beginne also mit der Berechnung des exakten Wertes von [mm]M[/mm].
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